Um motor de indução trifásico, possui 10 polos, 50 Hz , conexão Y, 60 kW e 415 V . o seu escorregamento é 5 \% para um fator de potência de 0,6 . Se a sua eficiência for de 90 \% com a carga nominal. Calcular:
Sua corrente de linha, módulo e ângulo

Passo 1

Dados fornecidos (transcrevo tudo com TeX):
  • Potência nominal (saída mecânica): P_{out}=60\,000\\ \mathrm{W} (assumo que os 60\\ \mathrm{kW} são potência útil do motor).
  • Tensão de linha (conexão Y): V_{L}=415\\ \mathrm{V}.
  • Conexão: estrela (Y).
  • Frequência: 50\\ \mathrm{Hz}.
  • Número de polos: 10 (informação não necessária para a corrente aqui, pois não pediram velocidade ou torque).
  • Escorregamento: s=5\% (não é necessário para calcular corrente com os dados dados).
  • Fator de potência na carga nominal: \mathrm{pf}=0,6 (provavelmente atraso, pois motor é indutivo).
  • Rendimento na carga nominal: \eta=90\%=0,90.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a corrente de linha (módulo e ângulo). Ou seja, encontrar o módulo |I_L| e a defasagem \varphi entre corrente e tensão de linha.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula chave (sem ainda fazer contas).
  • Rendimento relaciona potência útil (saída mecânica) com potência elétrica de entrada: a potência elétrica absorvida pela máquina (potência ativa de entrada) é maior porque parte vira perdas. A relação é
P_{in}=\frac{P_{out}}{\eta},
onde P_{in} é a potência ativa (em watts) fornecida pela rede ao motor. Aqui P_{out} é a potência útil no eixo e \eta é o rendimento (fração adimensional). Vou usar isso para achar P_{in}.
  • O fator de potência dá a relação entre potência ativa P e potência aparente S:
\mathrm{pf}=\cos\varphi=\frac{P_{in}}{S},
logo a potência aparente é
S=\frac{P_{in}}{\mathrm{pf}}.
Aqui S tem unidades de VA (volt-ampere). O ângulo \varphi é o ângulo entre tensão e corrente e satisfaz \varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{pf}). Para motores, a corrente geralmente atrasa a tensão (ângulo negativo se tomarmos tensão como referência).
  • Para sistema trifásico com valores de linha:
S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L},
onde V_{L} é a tensão de linha (em volts), I_{L} é a corrente de linha (em ampères) e \sqrt{3}\approx1,73205. Assim
I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
Observação sobre estrela (Y): a corrente de linha é igual à corrente de fase em conexão Y, então nenhuma correção extra é necessária para corrente — a fórmula acima já usa grandezas de linha.

Passo 3

Calcular a potência elétrica de entrada usando o rendimento.
Aplicando
P_{in}=\frac{P_{out}}{\eta}=\frac{60\,000}{0,90}.
Faço a divisão passo a passo:
P_{in}=\frac{60\,000}{0,90}=66\,666{,}666\ldots\\ \mathrm{W}.
Arredondando para duas casas decimais, P_{in}\approx66\,666{,}67\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calcular a potência aparente S a partir de P_{in} e do fator de potência.
Usando
S=\frac{P_{in}}{\mathrm{pf}}=\frac{66\,666{,}666\ldots}{0,6}.
Fazendo a conta:
S=111\,111{,}111\ldots\\ \mathrm{VA}.
Arredondando: S\approx111\,111{,}11\\ \mathrm{VA} (ou 111{,}11\\ \mathrm{kVA}).

Passo 5

Calcular o módulo da corrente de linha usando S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}. Reescrevo para I_{L}:
I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
Substituo os valores (uso \sqrt{3}\approx1,73205):
I_{L}=\frac{111\,111{,}111\ldots}{1,73205\cdot415}.
Calculo o denominador:
1,73205\cdot415\approx718{,}80.
Agora a divisão:
I_{L}\approx\frac{111\,111{,}11}{718{,}80}\approx154{,}58\\ \mathrm{A}.
Logo o módulo da corrente de linha é aproximadamente \,154{,}58\\ \mathrm{A}. (Arredondei para duas casas decimais.)

Passo 6

Calcular o ângulo entre tensão e corrente a partir do fator de potência.
\varphi=\operatorname{arccos}(\mathrm{pf})=\operatorname{arccos}(0,6).
Conhecendo trigonometria básica, \operatorname{arccos}(0,6) dá aproximadamente
\varphi\approx53{,}13^\circ.
Como se trata de um motor (carga indutiva), a corrente atrasa a tensão; portanto adotamos o ângulo da corrente como negativo quando tomamos a tensão como referência:
\angle I_{L}=-53{,}13^\circ.

Passo 7

Resumo e nota sobre sinais:
  • Módulo: |I_{L}|\approx154{,}58\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo (corrente em relação à tensão de linha): \varphi\approx-53{,}13^\circ (sinal negativo indica atraso/defasagem da corrente em relação à tensão, típico de motor indutivo).

Resposta

|I_{L}|=154{,}58\\ \mathrm{A}
\angle I_{L}=-53{,}13^\circ

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