Um motorista de 80 kg notou que o pneu de seu carro estava furado. Para trocá-lo, utilizou uma chave de 40 cm de comprimento e o peso de seu corpo, atuando perpendicularmente à extremidade da chave, para soltar os parafusos. Devido à oxidação dos parafusos, o rapaz não conseguiu afrouxá-los com a força aplicada. Felizmente, havia um pedaço de barra de aço no porta-malas do seu veículo que pode ser usada como alavanca. Suponha que fosse possível soltá-los com a chave original, caso o motorista pesasse 100 kg. Qual deve ser o comprimento mínimo da barra de aço, para que ele consiga trocar os pneus do carro? Considere g = 10 m/s².
a) 5,0 cm
b) 10,0 cm
c) 15,0 cm
d) 20,0 cm
e) 25,0 cm

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um motorista que pesa 80 kg e está tentando trocar o pneu do carro usando uma chave de 40 cm. Ele descobriu que, para conseguir soltar os parafusos oxidados, precisaria ter um peso corporal de 100 kg com a mesma chave. Agora, queremos descobrir qual o comprimento mínimo de uma barra de aço que ele pode usar para, com seu peso de 80 kg, conseguir a força necessária para afrouxar os parafusos. Vamos usar conceitos de alavanca e torque para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. Torque é uma medida da força que pode causar um objeto a girar em torno de um ponto. A fórmula do torque ($ \tau $) é:
tau
onde:
  • $ F $ é a força aplicada,
  • $ d $ é a distância do ponto de aplicação da força até o ponto de rotação.
Neste caso, a força é o peso do motorista ($ P = m \times g $), onde:
  • $ m $ é a massa do motorista,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (10 m/s²).

Passo 3

Primeiro, calculamos o torque que seria necessário para soltar os parafusos com um motorista de 100 kg usando a chave de 40 cm.
Calculando o peso:
P1 = m1 times g = 100 , kg times 10 , m/s² = 1000 , N ²
Calculando o torque com a chave original:
tau1 = P1 times d1 = 1000 , N times 0,40 , m = 400 , Nm

Passo 4

Agora, queremos que o torque produzido pelo motorista de 80 kg com a barra de aço seja igual ao torque necessário de 400 N.m.
Calculando o peso com 80 kg:
P2 = m2 times g = 80 , kg times 10 , m/s² = 800 , N ²
Usando a fórmula do torque para encontrar o comprimento mínimo da barra ($ d_2 $):
d2
Resolvendo para $ d_2 $:
tau2 = P2 times d2 = 400 , Nm

Passo 5

No entanto, observando as opções disponíveis, não há 50 cm. Possivelmente, houve um erro na interpretação das opções ou no enunciado. Vamos verificar novamente:
Se a pergunta pede o comprimento mínimo adicional necessário na barra de aço para complementar os 40 cm da chave original, então:
Ladicional = d2 - d1 = 50 , cm - 40 , cm = 10 , cm

Resposta

A barra de aço deve ter um comprimento mínimo de 10,0 cm.

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