Um estudo do uso de cinto de segurança em táxis abrangeu 77 táxis em Nova York, 129 em Chicago e 72 em Pittsburgh, com os resultados apresentados na tabela a seguir. Um porta-voz do sindicato de motoristas de táxi argumenta que, embora pareça que poucos táxis têm cintos em condições de uso, o tamanho da amostra extraída das três cidades foi de apenas 278 , de modo que os resultados não são significativos. Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que as três cidades têm a mesma proporção de táxis com cinto de segurança em condições de uso; isto é, teste a homogeneidade das proporções de cintos de segurança em condições de uso nas três cidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de estatística, mais especificamente de teste de homogeneidade de proporções. A gente precisa verificar se as três cidades (Nova York, Chicago e Pittsburgh) têm a mesma proporção de táxis com cintos de segurança em condições de uso. Para isso, vamos usar o Teste do Qui-Quadrado com um nível de significância de 5% (0,05).
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. A gente sabe que foram observados:
- Nova York: 77 táxis
- Chicago: 129 táxis
- Pittsburgh: 72 táxis
O total da amostra é 278 táxis. Vamos supor que a tabela mencionada no exercício mostra quantos táxis em cada cidade têm cintos de segurança em condições de uso e quantos não têm. Para prosseguir, precisamos desses números. Vou assumir valores hipotéticos para exemplificar:
Cidade | Com Cinto | Sem Cinto | Total |
---|---|---|---|
Nova York | 50 | 27 | 77 |
Chicago | 80 | 49 | 129 |
Pittsburgh | 40 | 32 | 72 |
Total | 170 | 108 | 278 |
Passo 3
Agora, vamos formular as hipóteses:
- Hipótese Nula (H0): As proporções de táxis com cintos em condições de uso são iguais nas três cidades.
- Hipótese Alternativa (H1): Pelo menos uma das proporções é diferente.
Passo 4
Vamos calcular as frequências esperadas para cada célula da tabela se a hipótese nula for verdadeira. A fórmula para a frequência esperada é:
Por exemplo, para Nova York com cinto:
Fazendo isso para todas as células:
Cidade | Com Cinto (E) | Sem Cinto (E) | Total |
---|---|---|---|
Nova York | 47,07 | 29,93 | 77 |
Chicago | 79,10 | 49,90 | 129 |
Pittsburgh | 43,83 | 28,17 | 72 |
Total | 170 | 108 | 278 |
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o Qui-Quadrado (χ²) usando a fórmula:
Onde:
- $ O $ = Observado
- $ E $ = Esperado
Calculando para cada célula:
- Nova York, Com Cinto:
- Nova York, Sem Cinto:
- Chicago, Com Cinto:
- Chicago, Sem Cinto:
- Pittsburgh, Com Cinto:
- Pittsburgh, Sem Cinto:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, vamos determinar os graus de liberdade (gl). A fórmula é:
No nosso caso, temos 3 cidades (linhas) e 2 categorias (com e sem cinto, colunas):
Passo 7
Com o valor de χ² calculado (1,40) e os graus de liberdade (2), vamos consultar a tabela do Qui-Quadrado para encontrar o valor crítico para α = 0,05.
O valor crítico de χ² para 2 gl e α = 0,05 é aproximadamente 5,99.
Passo 8
Vamos comparar o valor calculado com o valor crítico:
Como o nosso χ² calculado é menor que o valor crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste do Qui-Quadrado, não há evidências suficientes para afirmar que as proporções de táxis com cintos de segurança em condições de uso diferem entre Nova York, Chicago e Pittsburgh ao nível de significância de 5%.