Um móvel descreve um MHS de freqüência 5 Hz . Sabendo que a velocidade máxima do móvel é de 60 pi cm / s, determine sua velocidade num ponto onde a elongação é de 4 cm .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem um móvel que oscila com uma frequência de 5 Hz e a velocidade máxima dele é de 60pi , cm/s. Queremos descobrir qual é a velocidade dele quando a elongação (ou deslocamento) é de 4 cm. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do MHS relacionadas à velocidade e à amplitude do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência f está relacionada à velocidade angular omega pela fórmula:
omega = 2pi f
Aqui, f = 5 , Hz, então:
omega = 2pi times 5 = 10pi , rad/s

Passo 3

Sabemos que a velocidade máxima vmax num MHS é dada por:
vmax = omega A
Onde A é a amplitude do movimento. Queremos encontrar a amplitude, então rearranjando a fórmula:
A = vmaxomega
Substituindo os valores que temos:
A = 60pi10pi = 6 , cm
Então, a amplitude do movimento é de 6 cm.

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade do móvel em um ponto onde a elongação x = 4 , cm, usamos a fórmula da velocidade em função da posição numa MHS:
v = omega raizA^2 - x^2
Vamos substituir os valores que já sabemos:
v = 10pi times raiz6^2 - 4^2 = 10pi times raiz36 - 16 = 10pi times raiz20
Simplificando a raiz quadrada:
raiz20 = 2raiz5
Então:
v = 10pi times 2raiz5 = 20pi raiz5 , cm/s

Resposta

A velocidade do móvel quando a elongação é de 4 cm é 20pi raiz5 , cm/s.

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