Um móvel executa um MHS, cuja amplitude é 8 cm e o período é 6 s . Determine a velocidade do móvel no instante em que sua elongação é 4 cm .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem um móvel que oscila com uma amplitude de 8 cm e um período de 6 segundos. Queremos descobrir qual é a velocidade desse móvel quando ele está a 4 cm da posição de equilíbrio. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas do MHS que relacionam amplitude, período, elongação e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no MHS a posição do móvel em qualquer instante é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude (8 cm),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ \phi $ é a fase inicial.
Mas como precisamos da velocidade, vamos derivar a posição em relação ao tempo.

Passo 3

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t + phi)
Agora, precisamos relacionar isso com a elongação $ x = 4 $ cm.

Passo 4

Sabemos que a frequência angular $ \omega $ está relacionada ao período $ T $ pela fórmula:
omega
Dado que o período $ T = 6 $ s, substituímos:
T

Passo 5

Agora, queremos a velocidade quando $ x = 4 $ cm. Usando a relação entre velocidade, amplitude e elongação:
x = 4
Substituindo os valores:
v = omega raizA^2 - x^2

Passo 6

Vamos calcular dentro da raiz:
A^2 - x^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48
Então:
v = pi3 raiz48

Passo 7

Simplificando a raiz:
raiz48 = raiz16 times 3 = 4raiz3
Portanto:
v = pi3 times 4raiz3 = 4pi raiz33

Resposta

A velocidade do móvel quando sua elongação é 4 cm é:
v = 4pi raiz33 , cm/s

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