Um móvel executa um MHS, cuja amplitude é 8 cm e o período é 6 s . Determine a velocidade do móvel no instante em que sua elongação é 4 cm .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem um móvel que oscila com uma amplitude de 8 cm e um período de 6 segundos. Queremos descobrir qual é a velocidade desse móvel quando ele está a 4 cm da posição de equilíbrio. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas do MHS que relacionam amplitude, período, elongação e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no MHS a posição do móvel em qualquer instante é dada por:
Onde:
- $ A $ é a amplitude (8 cm),
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ t $ é o tempo,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Mas como precisamos da velocidade, vamos derivar a posição em relação ao tempo.
Passo 3
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então:
Agora, precisamos relacionar isso com a elongação $ x = 4 $ cm.
Passo 4
Sabemos que a frequência angular $ \omega $ está relacionada ao período $ T $ pela fórmula:
Dado que o período $ T = 6 $ s, substituímos:
Passo 5
Agora, queremos a velocidade quando $ x = 4 $ cm. Usando a relação entre velocidade, amplitude e elongação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular dentro da raiz:
Então:
Passo 7
Simplificando a raiz:
Portanto:
Resposta
A velocidade do móvel quando sua elongação é 4 cm é: