Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
d yd x=-yc

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a EDO dydx = -yc é de variáveis separáveis e encontrar sua solução geral. O conteúdo é separação de variáveis, e precisaremos usar integração em cada lado.

Passo 2

Começamos separando as variáveis: colocar todas as dependências de y em um lado e de x no outro. Assim, dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx:
1y,dy = -1c,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo é integral 1y,dy e do lado direito é integral -1c,dx:
integral 1y,dy = integral -1c,dx

Passo 4

As integrais são padrão: integral 1y,dy = ln|y| e integral -1c,dx = -xc + C, onde C é a constante de integração. Logo,
ln|y| = -xc + C

Passo 5

Para achar y, exponenciamos ambos os lados. Fazendo e^ln|y| = |y| e absorvendo o sinal em uma nova constante arbitrária K, obtemos:
|y| = e^C ;e^-xc = K e^-xc
Como K já pode ser positivo ou negativo, escrevemos a solução geral sem valor absoluto: y = K e^-xc.

Resposta

A solução geral da EDO é y = K e^-tfracxc, onde K é constante arbitrária.

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