Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
y^prime=-(1+x) y(1-y) x

Passo 1

Enunciado: temos a EDO y'= -(1+x)y(1-y)x, que pertence à classe de equações de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar os termos que dependem de y dos que dependem de x e depois integrar cada lado.

Passo 2

Separação de variáveis: escrevendo y'=dydx e manipulando, obtemos
1-yy,dy = -1+xx,dx
Aqui isolamos toda a parte em y à esquerda e toda a parte em x à direita.

Passo 3

Integração: lembrando que
1-yy = 1y - 1,
e que
-1+xx = -1x - 1,
temos as integrais
integrall(1y - 1r)dy = integrall(-1x -1r)dx
Calculando:
ln|y| - y = -ln|x| - x + C

Passo 4

Organização da solução: somando ln|x| e somando y em ambos os lados, definimos uma nova constante (ainda C) e escrevemos a forma implícita mais limpa:
Forma final: reagrupando logaritmos,
ln|y| + ln|x| + x - y = C
e usando ln|x|+ln|y|=ln|xy|, chegamos à solução geral.

Resposta

ln|xy| + x - y = C

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