( 2,0 pontos) Resolva a equação diferencial homogênea: (se-ponotol)
\frac{d y}{d x}+2 x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x} + 2x\,y = 0.
Este é um caso clássico de equação linear homogênea, que também é separável em variáveis.

Passo 2

Reescrevemos isolando \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\,2x\,y.

Passo 3

Agora separamos variáveis, colocando tudo em y de um lado e tudo em x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = -\,2x\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\,2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|y\bigr| = -\,x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para obter y explicitamente, exponenciamos:
\bigl|y\bigr| = e^{-x^{2} + C} = e^{C}\,e^{-x^{2}}.
Chamando C_{1} = \pm e^{C}, obtemos a solução geral
y(x) = C_{1}\,e^{-x^{2}},
com C_{1} constante real arbitrária (inclui a solução trivial y\equiv0).

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C\,e^{-x^{2}},
onde C é uma constante real.

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