Um móvel parte do repouso realizando um movimento uniformemente acelerado durante 10 s , ao fim dos quais atinge 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Mantém essa velocidade durante 15s e freia uniformemente com 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} (em módulo) até parar. Determine: (Valor \mathbf{2 , 0} )
a) Durante quanto tempo o móvel esteve em movimento
b) A velocidade média do movimento desde o instante inicial até o instante final.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • O móvel parte do repouso, então a velocidade inicial é v_0=0.
    • Durante 10\\ \text{s} acelera uniformemente e ao fim desse intervalo atinge 72\\ \text{km/h}.
    • Mantém essa velocidade constante durante 15\\ \text{s}.
    • Em seguida freia uniformemente com aceleração de módulo 1\\ \text{m/s}^2 até parar.
  • Perguntas:
    • (a) Durante quanto tempo o móvel esteve em movimento (ou seja, tempo total desde o início até parar)?
    • (b) Qual a velocidade média do movimento desde o instante inicial até o instante final?

Passo 2

Primeiro converto a velocidade final da primeira fase para unidades SI (m/s), porque as fórmulas de cinemática ficam mais simples em m/s e s.
  • Conversão: 1\\ \text{km/h} = \dfrac{1000}{3600}\\ \text{m/s}=\dfrac{1}{3{,}6}\\ \text{m/s}.
  • Então 72\\ \text{km/h} = 72\cdot\dfrac{1}{3{,}6}\\ \text{m/s} = 20\\ \text{m/s}.
Agora sabemos que após os 10\\ \text{s} a velocidade é v_1=20\\ \text{m/s}.

Passo 3

Determinar a aceleração na primeira fase (aceleração constante que leva de 0 a 20\\ \text{m/s} em 10\\ \text{s}).
Usa-se a definição de aceleração média (para movimento uniformemente acelerado é a mesma que a aceleração constante):
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_1-v_0}{t_1}.
Substituindo v_0=0, v_1=20\\ \text{m/s}, t_1=10\\ \text{s}:
a=\frac{20-0}{10}=2\\ \text{m/s}^2.
Explicando: aceleração é a variação de velocidade por unidade de tempo; aqui a velocidade sobe 20\\ \text{m/s} em 10\\ \text{s}, logo 2\\ \text{m/s}^2.

Passo 4

Calcular a distância percorrida na primeira fase. Para movimento uniformemente acelerado com velocidade inicial v_0, aceleração a e duração t, a posição deslocada (distância) é dada por
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Aqui v_0=0, a=2\\ \text{m/s}^2, t=10\\ \text{s}. Então
s_1 = 0\cdot10 + \tfrac{1}{2}\cdot2\cdot10^2 = 1\cdot100 = 100\\ \text{m}.
Uma forma intuitiva: a velocidade média nessa fase é \dfrac{0+20}{2}=10\\ \text{m/s}, multiplicando por 10\\ \text{s} 100\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a distância percorrida na fase de velocidade constante (segunda fase).
Nessa fase a velocidade é constante v_1=20\\ \text{m/s} durante t_2=15\\ \text{s}. A fórmula para deslocamento em movimento uniforme é
s = v \cdot t.
Logo
s_2 = 20\cdot15 = 300\\ \text{m}.

Passo 6

Tratar a fase de frenagem (terceira fase). Dados: velocidade inicial dessa fase v_1=20\\ \text{m/s}, frenagem com módulo a_2=1\\ \text{m/s}^2 (isto é, a aceleração é -1\\ \text{m/s}^2) e velocidade final zero.
  • Tempo de frenagem t_3 vem de v_f=v_i + a t. Com v_f=0, v_i=20, a=-1:
0 = 20 + (-1)\,t_3 \quad\Rightarrow\quad t_3 = \frac{20}{1}=20\\ \text{s}.
  • Distância durante frenagem: pode-se usar v_f^2 = v_i^2 + 2 a s. Com v_f=0,
0 = 20^2 + 2(-1)s_3 \quad\Rightarrow\quad s_3 = \frac{20^2}{2}= \frac{400}{2}=200\\ \text{m}.
Outra forma: velocidade média na frenagem é \dfrac{20+0}{2}=10\\ \text{m/s}, multiplicando por 20\\ \text{s} 200\\ \text{m}.

Passo 7

Agora somo os tempos e os deslocamentos de cada fase para obter o tempo total em movimento e o deslocamento total.
  • Tempos:
    • t_1=10\\ \text{s} (aceleração),
    • t_2=15\\ \text{s} (velocidade constante),
    • t_3=20\\ \text{s} (frenagem).
    • Tempo total: T = t_1+t_2+t_3 = 10+15+20 = 45\\ \text{s}.
Isto responde a pergunta (a): o móvel esteve em movimento durante 45\\ \text{s}.

Passo 8

Calcular a velocidade média do movimento entre o instante inicial e o instante final.
Definição: velocidade média é o deslocamento total dividido pelo tempo total:
\bar{v}=\frac{\Delta S}{T}.
Deslocamento total \Delta S = s_1+s_2+s_3 = 100+300+200 = 600\\ \text{m}.
Tempo total T=45\\ \text{s}.
\bar{v}=\frac{600}{45}=\frac{40}{3}\\ \text{m/s}\approx 13{,}3\overline{3}\\ \text{m/s}.
Para interpretar em unidades mais familiares (km/h), multiplica-se por 3{,}6:
\bar{v}=\frac{40}{3}\cdot3{,}6 = 48\\ \text{km/h}.

Resposta

a) 45\\ \text{s}
b) \dfrac{40}{3}\\ \text{m/s}\approx13{,}3\overline{3}\\ \text{m/s}=48\\ \text{km/h}

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