Se a posição de uma partícula é dada por
, onde x está em metros e t em segundos, calcule: (Valor 2,0)
a) Os instantes em que a velocidade da partícula é zero
b) Os intervalos de tempo em que a velocidade é positiva e os intervalos de tempo em que a velocidade é negativa.
c) Os instantes em que a aceleração da partícula é zero
a) Os instantes em que a velocidade da partícula é zero
b) Os intervalos de tempo em que a velocidade é positiva e os intervalos de tempo em que a velocidade é negativa.
c) Os instantes em que a aceleração da partícula é zero
Passo 1
O enunciado fornece a posição da partícula em função do tempo:
onde
está em metros e
em segundos. As perguntas são:
- (a) Quais são os instantes em que a velocidade da partícula é zero?
- (b) Quais os intervalos de tempo em que a velocidade é positiva e em que é negativa?
- (c) Quais são os instantes em que a aceleração da partícula é zero?
Informações relevantes dadas:
- A função posição
está explicitamente dada como um polinômio em . - Unidades:
em metros, em segundos.
Passo 2
Definição e cálculo da velocidade (explicação didática).
- Velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em símbolos: a velocidade é
. - Regra usada (regra da potência): se
então . Aqui e são constantes; por exemplo, .
Aplicando isso termo a termo em
:
Calculando cada derivada:
Portanto:
Passo 3
Resolvendo (a): instantes em que a velocidade é zero.
- Colocar
:
- Isolar
:
- Tirando raiz quadrada (lembre que há duas raízes, positiva e negativa):
- Valor numérico aproximado (usar vírgula nas decimais):
Observação prática: em problemas físicos de movimento normalmente consideramos
. Portanto o instante fisicamente relevante é
mas matematicamente a equação
tem também a raiz negativa
.
Passo 4
Respondendo (b): intervalos onde a velocidade é positiva ou negativa (método e interpretação).
- Já temos
. Podemos escrever
- O fator constante
é positivo, então o sinal de é o mesmo do parêntese . - A condição
equivale a , ou seja . - Conclusão geral (sem restringir sinal do tempo):
-
para . -
em . -
para e para .
-
Interpretação física (tempo
):
- Para
: -
em (isto é, ). -
em ( ). -
em (isto é, ).
-
Para verificar, pode-se avaliar alguns pontos:
-
. -
.
Esses exemplos confirmam o comportamento encontrado.
Passo 5
Calculando a aceleração e resolvendo (c).
- A aceleração instantânea é a derivada da velocidade:
. - Usando
e a regra da potência ( ):
- Para achar instantes em que a aceleração é zero, colocamos
:
- Portanto a aceleração é zero apenas em
(no conjunto dos números reais esse é o único instante).
Resposta
(a)
(fisicamente, para
,
).
(b) Velocidade positiva para (isto é, para
quando
); velocidade negativa para
e para
(ou, fisicamente, para
).
(c) .
(b) Velocidade positiva para
(c)