Se a posição de uma partícula é dada por \mathrm{x}=10 \mathrm{t}-35 \mathrm{t}^{3}, onde x está em metros e t em segundos, calcule: (Valor 2,0)
a) Os instantes em que a velocidade da partícula é zero
b) Os intervalos de tempo em que a velocidade é positiva e os intervalos de tempo em que a velocidade é negativa.
c) Os instantes em que a aceleração da partícula é zero

Passo 1

O enunciado fornece a posição da partícula em função do tempo:
\mathrm{x}(t)=10\,t-35\,t^{3},
onde \mathrm{x} está em metros e t em segundos. As perguntas são:
  • (a) Quais são os instantes em que a velocidade da partícula é zero?
  • (b) Quais os intervalos de tempo em que a velocidade é positiva e em que é negativa?
  • (c) Quais são os instantes em que a aceleração da partícula é zero?
Informações relevantes dadas:
  • A função posição \mathrm{x}(t) está explicitamente dada como um polinômio em t.
  • Unidades: \mathrm{x} em metros, t em segundos.

Passo 2

Definição e cálculo da velocidade (explicação didática).
  • Velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em símbolos: a velocidade é \,v(t)=\dfrac{d\mathrm{x}}{dt}.
  • Regra usada (regra da potência): se f(t)=a\,t^{n} então \dfrac{df}{dt}=a\,n\,t^{n-1}. Aqui a e n são constantes; por exemplo, \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.
Aplicando isso termo a termo em \mathrm{x}(t)=10\,t-35\,t^{3}:
v(t)=\frac{d\mathrm{x}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(10\,t\big)-\frac{d}{dt}\big(35\,t^{3}\big).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dt}\big(10\,t\big)=10\quad\text{(porque }10\text{ é coeficiente e }t^{1}\text{ dá }1\cdot t^{0}),éá
\frac{d}{dt}\big(35\,t^{3}\big)=35\cdot 3\,t^{2}=105\,t^{2}.
Portanto:
v(t)=10-105\,t^{2}.

Passo 3

Resolvendo (a): instantes em que a velocidade é zero.
  • Colocar v(t)=0:
10-105\,t^{2}=0.
  • Isolar t^{2}:
105\,t^{2}=10\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{10}{105}=\frac{2}{21}.
  • Tirando raiz quadrada (lembre que há duas raízes, positiva e negativa):
t=\pm\sqrt{\frac{2}{21}}.
  • Valor numérico aproximado (usar vírgula nas decimais):
\sqrt{\frac{2}{21}}\approx 0,308\\ \text{s}.
Observação prática: em problemas físicos de movimento normalmente consideramos t\ge 0. Portanto o instante fisicamente relevante é
t\approx 0,308\\ \text{s},
mas matematicamente a equação v(t)=0 tem também a raiz negativa t\approx -0,308\\ \text{s}.

Passo 4

Respondendo (b): intervalos onde a velocidade é positiva ou negativa (método e interpretação).
  • Já temos v(t)=10-105\,t^{2}. Podemos escrever
v(t)=105\!\left(\frac{2}{21}-t^{2}\right).
  • O fator constante 105 é positivo, então o sinal de v(t) é o mesmo do parêntese \dfrac{2}{21}-t^{2}.
  • A condição \dfrac{2}{21}-t^{2}>0 equivale a t^{2}<\dfrac{2}{21}, ou seja |t|<\sqrt{\dfrac{2}{21}}.
  • Conclusão geral (sem restringir sinal do tempo):
    • v(t)>0 para -\sqrt{\dfrac{2}{21}}<t<\sqrt{\dfrac{2}{21}}.
    • v(t)=0 em t=\pm\sqrt{\dfrac{2}{21}}.
    • v(t)<0 para t<-\sqrt{\dfrac{2}{21}} e para t>\sqrt{\dfrac{2}{21}}.
Interpretação física (tempo t\ge 0):
  • Para t\ge 0:
    • v(t)>0 em 0\le t<\sqrt{\dfrac{2}{21}} (isto é, 0\le t<0,308\\ \text{s}).
    • v(t)=0 em t=\sqrt{\dfrac{2}{21}} ( \approx 0,308\\ \text{s}).
    • v(t)<0 em t>\sqrt{\dfrac{2}{21}} (isto é, t>0,308\\ \text{s}).
Para verificar, pode-se avaliar alguns pontos:
  • v(0)=10>0.
  • v(1)=10-105\cdot 1^{2}=10-105=-95<0.
    Esses exemplos confirmam o comportamento encontrado.

Passo 5

Calculando a aceleração e resolvendo (c).
  • A aceleração instantânea é a derivada da velocidade: a(t)=\dfrac{dv}{dt}.
  • Usando v(t)=10-105\,t^{2} e a regra da potência ( \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=-105\cdot 2\,t=-210\,t.
  • Para achar instantes em que a aceleração é zero, colocamos a(t)=0:
-210\,t=0\quad\Rightarrow\quad t=0.
  • Portanto a aceleração é zero apenas em t=0 (no conjunto dos números reais esse é o único instante).

Resposta

(a) t=\pm\sqrt{\dfrac{2}{21}}\approx\pm 0,308\\ \text{s} (fisicamente, para t\ge 0, t\approx 0,308\\ \text{s}).
(b) Velocidade positiva para -\sqrt{\dfrac{2}{21}}<t<\sqrt{\dfrac{2}{21}} (isto é, para 0\le t<\sqrt{\dfrac{2}{21}} quando t\ge 0); velocidade negativa para t<-\sqrt{\dfrac{2}{21}} e para t>\sqrt{\dfrac{2}{21}} (ou, fisicamente, para t> \sqrt{\dfrac{2}{21}}).
(c) t=0.

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