Um engenheiro decidiu isolar um tubo de aço que transporta vapor de água a 250 { }^{\circ} \mathrm{C}, com o intuito de diminuir a perda de calor para o ambiente ( 20^{\circ} \mathrm{C} ). O tubo tem diâmetro externo de 25 mm e a temperatura externa é de 243^{\circ} \mathrm{C}. A espessura da manta de isolante (de condutividade térmica 0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) disponível é de 2,5 \mathrm{~mm}, sabendo que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} (externo) você apoia a decisão do engenheiro? Justifique com cálculos. O comprimento da tubulação é de 43,56 metros.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes valores diretamente do enunciado):
  • Temperatura do vapor (interna): T_{\text{vapor}}=250^\circ\mathrm{C} (informação dada, mas o que interessa para a troca de calor externa é a temperatura externa do tubo).
  • Temperatura externa do tubo (sem isolamento): T_{s}=243^\circ\mathrm{C} (fornecida).
  • Temperatura ambiente: T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro externo do tubo: D_{\text{tubo}}=25\\ \mathrm{mm}. Logo raio externo do tubo: r_{1}=\dfrac{D_{\text{tubo}}}{2}=0,0125\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da manta isolante disponível: e=2,5\\ \mathrm{mm}=0,0025\\ \mathrm{m}. Logo raio externo do isolamento: r_{2}=r_{1}+e=0,0150\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do isolamento: k=0,15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Coeficiente convectivo externo: h=10\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Comprimento da tubulação: L=43,56\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede (interpretei assim): decidir se apoiar a escolha do engenheiro de colocar essa manta de espessura 2,5\\ \mathrm{mm}. Para isso devo justificar com cálculos — a forma natural é comparar a perda de calor (potência térmica) sem isolamento e com esse isolamento e verificar se a perda diminui (bom) ou aumenta (ruim).

Passo 2

Estratégia e fórmulas (aula curta e prática):
  • Para um tubo cilíndrico vertical/horizontal, a perda de calor por convecção direta (sem isolamento) por unidade de comprimento pode ser escrita como
q'_{\text{nu}} = h\cdot (2\pi r_1)\cdot\bigl(T_s-T_{\infty}\bigr),
onde r_1 é o raio externo do tubo, h o coeficiente convectivo, e T_s a temperatura da superfície do tubo. Essa é a forma direta da lei de resfriamento de Newton numa superfície cilíndrica: área lateral por unidade de comprimento é 2\pi r.
  • Se houver isolamento cilíndrico em torno do tubo (assumindo contato perfeito entre tubo e isolamento e regime permanente), a resistência térmica por unidade de comprimento é a soma da resistência de condução radial no isolamento (cilíndrica) e da resistência convectiva externa:
R'_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr)}{2\pi k},\qquad R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot 2\pi r_2}.
A perda por unidade de comprimento é então
q'_{\text{isol}}=\frac{T_s-T_{\infty}}{R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}}.
(Obs.: estou tratando T_s como a temperatura da superfície do tubo antes do isolamento — como dado no enunciado — e supondo que a resistência interna do tubo/fluxo de vapor não limita a transferência; isto é aceitável aqui porque o enunciado fornece T_s.)
  • Conceito importante: existe um raio crítico do isolamento para cilindros dado por
r_{\text{crit}}=\frac{k}{h}.
Se a camada externa do isolamento ficar com raio r_2<r_{\text{crit}}, adicionar isolamento aumenta a perda de calor (porque a área convectiva aumenta mais rápido do que a resistência de condução adicionada). Se r_2>r_{\text{crit}}, adicionar isolamento diminui a perda. Se r_2=r_{\text{crit}} atinge o ponto de máximo calor transferido (resistência total mínima).

Passo 3

Cálculo da perda sem isolamento (caso atual sem manta):
Dados para esse caso: r_1=0,0125\\ \mathrm{m}, h=10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}, T_s=243^\circ\mathrm{C}, T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
Área lateral por unidade de comprimento:
2\pi r_1=2\pi\cdot 0,0125.
Aplicando a fórmula direta:
q'_{\text{nu}}=h\cdot(2\pi r_1)\cdot\bigl(T_s-T_{\infty}\bigr).
Agora os números:
2\pi r_1=2\pi\cdot 0,0125\approx 0,0785398\\ \mathrm{m},
q'_{\text{nu}}=10\cdot 0,0785398\cdot(243-20)=0,785398\cdot 223\approx 175,14\\ \mathrm{W/m}.
Potência total no comprimento L:
Q_{\text{nu}}=q'_{\text{nu}}\cdot L\approx 175,14\cdot 43,56\approx 7\,629,3\\ \mathrm{W}.
Interpretação: sem isolamento, o tubo perde cerca de 7,63\\ \mathrm{kW} para o ambiente.

Passo 4

Cálculo da perda com o isolamento de e=2,5\\ \mathrm{mm}:
Primeiro calcule as resistências por unidade de comprimento.
  • Resistência de condução radial do isolamento:
R'_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{r_2}{r_1}\bigr)}{2\pi k} =\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{0,0150}{0,0125}\bigr)}{2\pi\cdot 0,15}.
Calcule:
\frac{r_2}{r_1}=\frac{0,0150}{0,0125}=1,2,\qquad \ln(1,2)\approx 0,182322,
2\pi k=2\pi\cdot 0,15\approx 0,942478,
R'_{\text{cond}}\approx\frac{0,182322}{0,942478}\approx 0,19364\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • Resistência convectiva externa (agora para raio r_2):
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot 2\pi r_2}=\frac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0,0150} =\frac{1}{0,942478}\approx 1,06066\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • Resistência total por unidade de comprimento:
R'_{\text{tot}}=R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}\approx 0,19364+1,06066=1,25430\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • Portanto a perda por unidade de comprimento com isolamento é
q'_{\text{isol}}=\frac{T_s-T_{\infty}}{R'_{\text{tot}}}=\frac{223}{1,25430}\approx 177,86\\ \mathrm{W/m}.
  • Potência total ao longo do tubo:
Q_{\text{isol}}=q'_{\text{isol}}\cdot L\approx 177,86\cdot 43,56\approx 7\,747,4\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Comparação, interpretação física e conceito do raio crítico:
  • Resultado numérico resumido:
    • Sem isolamento: Q_{\text{nu}}\approx 7\,629,3\\ \mathrm{W}.
    • Com a manta de 2,5\\ \mathrm{mm}: Q_{\text{isol}}\approx 7\,747,4\\ \mathrm{W}.
    • Aumentou a perda em \Delta Q\approx 7\,747,4-7\,629,3\approx 118,1\\ \mathrm{W}, ou cerca de 1,55\%.
  • Explicação física (aula rápida e amigável):
    O isolamento que se pensa em colocar é muito fino e, ao aumentarmos o raio externo do cilindro, aumentamos a área pela qual o calor é perdido por convecção. A resistência adicional à condução que essa manta fornece é pequena quando a manta é fina. Existe um ponto crítico — o chamado raio crítico do isolamento — dado por
    r_{\text{crit}}=\frac{k}{h}.
    Se o raio externo do isolamento r_2 for menor que r_{\text{crit}}, então a resistência total diminui e a perda aumenta; se r_2>r_{\text{crit}}, a resistência total aumenta e a perda diminui. Aqui:
    r_{\text{crit}}=\frac{k}{h}=\frac{0,15}{10}=0,0150\\ \mathrm{m}=15{,}0\\ \mathrm{mm}.
    Observa-se que o r_2 obtido com a manta proposta é exatamente 0,0150\\ \mathrm{m} (porque r_1=12{,}5\\ \mathrm{mm} e e=2{,}5\\ \mathrm{mm}), ou seja, o isolamento proposto leva o raio externo exatamente ao raio crítico. Nessa situação o calor trocado é praticamente no máximo em função do raio (a resistência total é mínima), portanto essa manta fina NÃO reduz a perda — na verdade produz um ligeiro aumento na perda de calor.

Passo 6

Conclusão prática e recomendação (motivação curta):
  • Não apoio a decisão do engenheiro de usar apenas essa manta de 2{,}5\\ \mathrm{mm}. Os cálculos mostram que ela aumenta levemente a perda de calor (cerca de 118\\ \mathrm{W}, 1{,}55\% a mais ao longo de 43,56\\ \mathrm{m}).
  • Se o objetivo é reduzir perdas térmicas, é necessário usar um isolamento mais espesso tal que r_2>r_{\text{crit}}=0,015\\ \mathrm{m}, ou utilizar um material com condutividade k menor (reduz r_{\text{crit}}), ou ambos. Em prática: usar manta mais espessa (por exemplo e>2{,}5\\ \mathrm{mm}, suficiente para que r_2>0,015\\ \mathrm{m}).

Resposta

Não. Sem isolamento Q\approx 7\,629,3\\ \mathrm{W}. Com a manta de 2{,}5\\ \mathrm{mm} Q\approx 7\,747,4\\ \mathrm{W}. A perda aumenta em cerca de 118,1\\ \mathrm{W} ( \approx 1{,}55\%), portanto a manta proposta não reduz a perda térmica.

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