Aletas cilíndricas de 5 mm de diâmetro, 5 cm de comprimento são soldadas a uma placa plana de 1,05 \mathrm{~m} \times 1,05 \mathrm{~m} de área e 5 mm de espessura. Tanto as aletas quanto a placa são feitas de aço-carbono (condutividade térmica de 60,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ). A superfície não aletada é mantida à temperatura superficial uniforme de 180^{\circ} \mathrm{C}, estando todo o conjunto em contato com o ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente médio de troca de calor por convecção é estimado em 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} (para as aletas e para a área não aletada).
a) Determine o número total de aletas soldadas na placa;
b) Determine a quantidade de calor trocada por todas as aletas.
c) Determine a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Dimensões da placa: 1{,}05\\ \mathrm{m}\times1{,}05\\ \mathrm{m}. Logo a área da placa é
A_{\mathrm{placa}}=1{,}05\cdot1{,}05=1{,}1025\\ \mathrm{m}^2.
  • Espessura da placa: 5\\ \mathrm{mm} (não será necessária para os cálculos pedidos, pois a superfície é mantida à temperatura conhecida).
  • Aletas cilíndricas (pin fins):
    • diâmetro d=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m},
    • comprimento (altura) L=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m},
    • material: aço-carbono com condutividade térmica k=60{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
  • Meio ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de base/superfície não aletada: T_s=180^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo médio: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K} (válido para as aletas e para a área não aletada).
  • Perguntas:
    (a) determine o número total de aletas soldadas na placa;
    (b) determine a quantidade de calor trocada por todas as aletas;
    (c) determine a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa.
Observação sobre uma hipótese necessária (aqui não se resolve ainda): o enunciado não dá espaçamento entre aletas. Na ausência desse dado, adotarei a hipótese usual e simples de arranjo em malha quadrada com passo igual ao diâmetro da aleta (ou seja, cada aleta “ocupa” uma área d^2 no plano da placa). Essa hipótese será explicitada e usada no cálculo do número de aletas no passo seguinte.

Passo 2

Determinar o número de aletas (item a). Sob a hipótese de arranjo em malha quadrada com passo igual ao diâmetro:
  • área ocupada por cada aleta (área de planificação por aleta, pitch) é
A_p=d^2=(0{,}005)^2=25\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • número de aletas
n=\frac{A_{\mathrm{placa}}}{A_p}=\frac{1{,}1025}{25\times10^{-6}}=44100.
Portanto, com a hipótese adotada, o número de aletas é 44100. (Se fosse adotado outro espaçamento, o número mudaria proporcionalmente; como o enunciado não dá passo, essa é a suposição simples e comum.)

Passo 3

Explicação teórica e fórmula para o calor por aleta (item b, preparação).
  • Cada aleta é um pino cilíndrico de seção constante. Para uma aleta de seção constante com convecção na lateral e convecção também na ponta, a solução 1D da equação do calor leva à expressão padrão:
q_{\mathrm{aleta}}=\sqrt{h P k A_c}\;\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)}\;\,(T_s-T_\infty),
onde:
  • P é o perímetro da seção transversal da aleta (para cilindro: P=2\pi r);
  • A_c é a área da seção transversal ( A_c=\pi r^2);
  • r é o raio da aleta ( r=d/2);
  • k é a condutividade da aleta;
  • h é o coeficiente convectivo;
  • L é o comprimento (comprimento da aleta);
  • m é o parâmetro definido por
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}.
  • Interpretação: o fator com hiperbólicas incorpora a queda de temperatura ao longo da aleta e a convecção na ponta; \sqrt{hPkA_c} tem dimensões de W/K e escala o fluxo base; multiplicando por (T_s-T_\infty) q em W.
Vamos agora calcular todos os termos geométricos e numéricos.

Passo 4

Cálculos das quantidades geométricas e do parâmetro m.
  • raio da aleta:
r=\frac{d}{2}=\frac{0{,}005}{2}=0{,}0025\\ \mathrm{m}.
  • perímetro da seção:
P=2\pi r=2\pi(0{,}0025)=0{,}015707963\\ \mathrm{m}.
  • área da seção transversal:
A_c=\pi r^2=\pi(0{,}0025)^2=1{,}9634954\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • parâmetro m:
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}.
Observação: para cilindro P/A_c=2/r, assim pode-se escrever m=\sqrt{\dfrac{2h}{k r}} — conveniente para cálculo. Substituindo:
m=\sqrt{\dfrac{2\cdot10}{60{,}5\cdot0{,}0025}}=\sqrt{132{,}2314}=11{,}4988\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • produto mL:
mL=11{,}4988\cdot0{,}05=0{,}57494.

Passo 5

Cálculo numérico da expressão do calor por aleta q_{\mathrm{aleta}}.
  • Primeiro compute a constante front-end \sqrt{h P k A_c}:
\sqrt{h P k A_c}=\sqrt{10\cdot0{,}015707963\cdot60{,}5\cdot1{,}9634954\times10^{-5}} =0{,}013656\\ \mathrm{W/K}.
  • Calcule \dfrac{h}{m k}:
\frac{h}{m k}=\frac{10}{11{,}4988\cdot60{,}5}=0{,}0143615.
  • Avalie \operatorname{sinh}(mL) e \operatorname{cosh}(mL) (com mL=0{,}57494):
\operatorname{sinh}(mL)=0{,}60737,\qquad \operatorname{cosh}(mL)=1{,}16995.
  • Montando a razão hiperbólica:
\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{m k}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{m k}\operatorname{sinh}(mL)} =\frac{0{,}60737+0{,}0143615\cdot1{,}16995}{1{,}16995+0{,}0143615\cdot0{,}60737}=0{,}52958.
  • Logo o calor por aleta:
q_{\mathrm{aleta}}=0{,}013656\cdot0{,}52958\cdot(180-20) =1{,}1569\\ \mathrm{W}.
Portanto, cada aleta fornece aproximadamente 1{,}157\\ \mathrm{W}.
Comentário didático rápido: para verificar a razão e a “eficiência” da aleta, calcule a área de superfície de uma aleta:
A_{\mathrm{lat}}=2\pi r L=2\pi(0{,}0025)(0{,}05)=7{,}854\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
e a área da ponta A_{\mathrm{ponta}}=\pi r^2=1{,}9635\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2. Área total de superfície por aleta A_{\mathrm{aleta}}\approx8{,}05\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Se fosse toda a área perfeitamente efetiva, o calor convectado seria hA_{\mathrm{aleta}}(T_s-T_\infty)=10\cdot8{,}05\times10^{-4}\cdot160=1{,}288\\ \mathrm{W}. Vemos que q_{\mathrm{aleta}}=1{,}157\\ \mathrm{W} é um pouco menor, indicando uma eficiência da ordem de 1{,}157/1{,}288\approx0{,}90, o que é razoável para aletas curtas.

Passo 6

Calcule a quantidade de calor trocada por todas as aletas (item b).
  • Usando n=44100 e q_{\mathrm{aleta}}=1{,}1569\\ \mathrm{W}:
Q_{\mathrm{aletas}}=n\;q_{\mathrm{aleta}}=44100\cdot1{,}1569=51007\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Calcule a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa (item c).
  • A área ocupada pelas bases das aletas (área do círculo da base) é A_{\mathrm{base}}=\pi r^2=A_c=1{,}9634954\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2 por aleta. Área total ocupada pelas bases:
A_{\mathrm{bases\\ tot}}=n\;A_{\mathrm{base}}=44100\cdot1{,}9634954\times10^{-5}=0{,}86588\\ \mathrm{m}^2.
  • Área da placa não aletada (área livre para convecção, assumindo aletas ocupando sua base na superfície):
A_{\mathrm{não\\ aletada}}=A_{\mathrm{placa}}-A_{\mathrm{bases\\ tot}} =1{,}1025-0{,}86588=0{,}23662\\ \mathrm{m}^2.ã
  • Como a superfície não aletada é mantida à temperatura uniforme T_s, o calor convectado por essa área é simplesmente:
Q_{\mathrm{não\\ aletada}}=h\;A_{\mathrm{não\\ aletada}}\;(T_s-T_\infty) =10\cdot0{,}23662\cdot160=378{,}6\\ \mathrm{W}.ãã

Passo 8

Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos onde adequado):
  • número de aletas: n=44100;
  • calor total das aletas: Q_{\mathrm{aletas}}\approx51007\\ \mathrm{W};
  • calor da parte não aletada: Q_{\mathrm{não\\ aletada}}\approx378{,}6\\ \mathrm{W}ã.

Resposta

(a) 44100 aletas
(b) 5,10\times10^{4}\\ \mathrm{W} (aprox., 51007\\ \mathrm{W})
(c) 3,79\times10^{2}\\ \mathrm{W} (aprox., 378{,}6\\ \mathrm{W})

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