Aletas cilíndricas de 5 mm de diâmetro, 5 cm de comprimento são soldadas a uma placa plana de
de área e 5 mm de espessura. Tanto as aletas quanto a placa são feitas de aço-carbono (condutividade térmica de
). A superfície não aletada é mantida à temperatura superficial uniforme de
, estando todo o conjunto em contato com o ar a
. O coeficiente médio de troca de calor por convecção é estimado em
(para as aletas e para a área não aletada).
a) Determine o número total de aletas soldadas na placa;
b) Determine a quantidade de calor trocada por todas as aletas.
c) Determine a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa;
a) Determine o número total de aletas soldadas na placa;
b) Determine a quantidade de calor trocada por todas as aletas.
c) Determine a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Dimensões da placa:
. Logo a área da placa é
- Espessura da placa:
(não será necessária para os cálculos pedidos, pois a superfície é mantida à temperatura conhecida). - Aletas cilíndricas (pin fins):
- diâmetro
, - comprimento (altura)
, - material: aço-carbono com condutividade térmica
.
- diâmetro
- Meio ambiente:
. - Temperatura de base/superfície não aletada:
. - Coeficiente convectivo médio:
(válido para as aletas e para a área não aletada). - Perguntas:
(a) determine o número total de aletas soldadas na placa;
(b) determine a quantidade de calor trocada por todas as aletas;
(c) determine a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa.
Observação sobre uma hipótese necessária (aqui não se resolve ainda): o enunciado não dá espaçamento entre aletas. Na ausência desse dado, adotarei a hipótese usual e simples de arranjo em malha quadrada com passo igual ao diâmetro da aleta (ou seja, cada aleta “ocupa” uma área
no plano da placa). Essa hipótese será explicitada e usada no cálculo do número de aletas no passo seguinte.
Passo 2
Determinar o número de aletas (item a). Sob a hipótese de arranjo em malha quadrada com passo igual ao diâmetro:
- área ocupada por cada aleta (área de planificação por aleta, pitch) é
- número de aletas
Portanto, com a hipótese adotada, o número de aletas é
. (Se fosse adotado outro espaçamento, o número mudaria proporcionalmente; como o enunciado não dá passo, essa é a suposição simples e comum.)
Passo 3
Explicação teórica e fórmula para o calor por aleta (item b, preparação).
- Cada aleta é um pino cilíndrico de seção constante. Para uma aleta de seção constante com convecção na lateral e convecção também na ponta, a solução 1D da equação do calor leva à expressão padrão:
onde:
-
é o perímetro da seção transversal da aleta (para cilindro: ); -
é a área da seção transversal ( ); -
é o raio da aleta ( ); -
é a condutividade da aleta; -
é o coeficiente convectivo; -
é o comprimento (comprimento da aleta); -
é o parâmetro definido por
- Interpretação: o fator com hiperbólicas incorpora a queda de temperatura ao longo da aleta e a convecção na ponta;
tem dimensões de W/K e escala o fluxo base; multiplicando por dá em W.
Vamos agora calcular todos os termos geométricos e numéricos.
Passo 4
Cálculos das quantidades geométricas e do parâmetro
.
- raio da aleta:
- perímetro da seção:
- área da seção transversal:
- parâmetro
:
Observação: para cilindro
, assim pode-se escrever
— conveniente para cálculo. Substituindo:
- produto
:
Passo 5
Cálculo numérico da expressão do calor por aleta
.
- Primeiro compute a constante front-end
:
- Calcule
:
- Avalie
e (com ):
- Montando a razão hiperbólica:
- Logo o calor por aleta:
Portanto, cada aleta fornece aproximadamente
.
Comentário didático rápido: para verificar a razão e a “eficiência” da aleta, calcule a área de superfície de uma aleta:
e a área da ponta
. Área total de superfície por aleta
. Se fosse toda a área perfeitamente efetiva, o calor convectado seria
. Vemos que
é um pouco menor, indicando uma eficiência da ordem de
, o que é razoável para aletas curtas.
Passo 6
Calcule a quantidade de calor trocada por todas as aletas (item b).
- Usando
e :
Passo 7
Calcule a quantidade de calor trocada pela parte não aletada da placa (item c).
- A área ocupada pelas bases das aletas (área do círculo da base) é
por aleta. Área total ocupada pelas bases:
- Área da placa não aletada (área livre para convecção, assumindo aletas ocupando sua base na superfície):
- Como a superfície não aletada é mantida à temperatura uniforme
, o calor convectado por essa área é simplesmente:
Passo 8
Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos onde adequado):
- número de aletas:
; - calor total das aletas:
; - calor da parte não aletada:
.
Resposta
(a)
aletas
(b)
(aprox.,
)
(c)
(aprox.,
)