Em movimento com aceleração constante, a velocidade de uma partícula é igual à metade da soma da velocidade inicial com a velocidade final. Isto é verdade quando a aceleração não é constante? Explique.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: “Num movimento com aceleração constante, a velocidade média de uma partícula é igual à metade da soma da velocidade inicial com a velocidade final . Será que isso continua valendo se a aceleração NÃO for constante?”
Conteúdo da matéria: Cinemática escalar com aceleração (constante e variável).
O que vamos precisar:
  • Entender o que é velocidade média em geral.
  • Ver como isso funciona no caso de aceleração constante.
  • Ver o que muda quando a aceleração varia no tempo.

Passo 2

Vamos lembrar a definição geral de velocidade média.
Se você tem uma função barv ;=;1t - t0integralt0^t v(t'),dt' de velocidade qualquer, a velocidade média num intervalo de tempo de barv = 1De até é
Isso é simplesmente a “área embaixo da curva ” dividida pelo tempo total. Se a gente chamar e , fica

Passo 3

Agora, quando a aceleração é constante v(t) = v0 + a,t , sabemos que
barv =1De
Substituindo na definição de média:
=;v0 + a,De
barv = v0 + v - v02 =v0 + v2
Mas como a velocidade final é , a gente escreve
Ou seja, no caso linear ( constante), bate certinho.

Passo 4

E se a aceleração NÃO for constante? Aí a curva barv = 1De deixa de ser uma reta e pode ter formas bem tortas. A média continua sendo
mas agora essa integral NÃO é igual a em geral. Só dá esse resultado mágico quando descreve uma reta, e reta a gente só tem com aceleração constante.
Para ver um exemplo simples, imagine um “pico” de aceleração no meio do trajeto: você dispara rápido no começo, depois quase para, e depois acelera de novo. Você pode acabar com a mesma velocidade inicial e final, mas a área total de vai mudar, e a média não vai bater na metade da soma.

Resposta

Não, essa relação só vale quando a aceleração é constante. Se a aceleração varia, a velocidade média passa a ser dada pela integral da função , e aí em geral não dá metade da soma das velocidades inicial e final.

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