Um satélite se move com rapidez constante em uma órbita circular em torno do centro da Terra e próximo à superfície da Terra. Se a magnitude de sua aceleração é g=9,81 m / s^2, encontre
o tempo para uma volta completa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória circular e com velocidade constante. O conteúdo aqui envolve movimento circular uniforme e aceleração centrípeta. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a aceleração centrípeta, o raio da órbita e o tempo que o satélite leva para completar uma volta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em uma trajetória circular, ele está sempre mudando de direção, o que significa que está acelerando mesmo com velocidade constante. Essa aceleração é chamada de aceleração centrípeta ( ac) e é dada pela fórmula:
ac = v^2r
onde:
  • v é a velocidade do satélite,
  • r é o raio da órbita.

Passo 3

Sabemos que a aceleração centrípeta é igual à aceleração da gravidade na superfície da Terra ( g = 9,81 , m/s^2). Assim, podemos escrever:
v^2r = g
Nosso objetivo é encontrar o tempo para uma volta completa, que é o período ( T) do satélite.

Passo 4

Para relacionar a velocidade ( v) com o período ( T), usamos a fórmula da velocidade em movimento circular:
v = 2pi rT
Agora, substituímos essa expressão de v na equação da aceleração centrípeta:
(2pi rT)^2r = g

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
4pi^2 r^2T^2 cdot r = g
4pi^2 rT^2 = g
Agora, isolamos o T^2:
T^2 = 4pi^2 rg

Passo 6

Para encontrar o período ( T), tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
T = 2pi raizrg

Passo 7

Agora, precisamos saber o valor de r, que é o raio da Terra. O raio médio da Terra é aproximadamente 6.371 times 10^6 , m.
Substituindo os valores na fórmula:
T = 2pi raiz6.371 times 10^6 , m9,81 , m/s^2

Passo 8

Vamos calcular dentro da raiz primeiro:
6.371 times 10^69,81 approx 6.492 times 10^5 , s^2
Agora, tiramos a raiz quadrada:
raiz6.492 times 10^5 approx 805 , s
Multiplicando por 2pi:
T = 2 times 3,1416 times 805 approx 5062 , s

Resposta

O tempo para uma volta completa é aproximadamente 5062 , segundos, ou cerca de 84 minutos.

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