Um satélite se move com rapidez constante em uma órbita circular em torno do centro da Terra e próximo à superfície da Terra. Se a magnitude de sua aceleração é
, encontre
o tempo para uma volta completa.
o tempo para uma volta completa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória circular e com velocidade constante. O conteúdo aqui envolve movimento circular uniforme e aceleração centrípeta. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam a aceleração centrípeta, o raio da órbita e o tempo que o satélite leva para completar uma volta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em uma trajetória circular, ele está sempre mudando de direção, o que significa que está acelerando mesmo com velocidade constante. Essa aceleração é chamada de aceleração centrípeta (
) e é dada pela fórmula:
onde:
-
é a velocidade do satélite, -
é o raio da órbita.
Passo 3
Sabemos que a aceleração centrípeta é igual à aceleração da gravidade na superfície da Terra (
). Assim, podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar o tempo para uma volta completa, que é o período (
) do satélite.
Passo 4
Para relacionar a velocidade (
) com o período (
), usamos a fórmula da velocidade em movimento circular:
Agora, substituímos essa expressão de
na equação da aceleração centrípeta:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora, isolamos o
:
Passo 6
Para encontrar o período (
), tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 7
Agora, precisamos saber o valor de
, que é o raio da Terra. O raio médio da Terra é aproximadamente
.
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 8
Vamos calcular dentro da raiz primeiro:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Multiplicando por
:
Resposta
O tempo para uma volta completa é aproximadamente
, ou cerca de 84 minutos.