Encontre as áreas das regiões limitadas pelos
(star) gráficos de f(x)=x^2 e g(x)=x^22+2.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^2
e
g(x)=x^22+2
e pede a área da região limitada pelos dois gráficos. O conteúdo aqui é “área entre duas curvas”, que se calcula por integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Precisamos dos pontos de interseção, resolvendo
x^2 = x^22 + 2
Rearranjando,
x^2 - x^22 = 2 Longrightarrow x^22=2 Longrightarrow x^2=4 Longrightarrow x=pm 2

Passo 3

Para determinar qual curva fica por cima em (-2,2), veja a diferença
g(x)-f(x) =l(x^22+2r)-x^2 =2-x^22
Como 2-tfracx^22>0 para lvert xrvert<2, temos g(x)>f(x) no intervalo de interesse.

Passo 4

A área procurada é
Área =integralx=-2^2l[g(x)-f(x)r],dx =integral-2^2l(2-x^22r),dx Á

Passo 5

Calcule a integral, usando simetria em relação a x=0:
integral-2^2l(2-x^22r),dx =2integral0^2l(2-x^22r),dx =2l[2x-x^36r]0^2 =2l(4-86r) =2l(4-43r) =2cdot83 =163

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de f e g é
163

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