O movimento de um meio transparente influencia a velocidade da luz. Este efeito foi observado pela primeira vez por Fizeau, em 1851. Considere um feixe de luz na água. A água se move com a velocidade
em um cano horizontal. Suponha que a luz se mova na mesma direção da água. A velocidade da luz em relação à água é
, onde
é o índice de refração da água.
(a) Utilize a equação de transformação de velocidade para mostrar que a velocidade da luz medida no referencial do laboratório é
(b) Mostre que para
c, a expressão da parte (a) se torna, para uma boa aproximação,
(a) Utilize a equação de transformação de velocidade para mostrar que a velocidade da luz medida no referencial do laboratório é
(b) Mostre que para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um feixe de luz viaja dentro de água que, por sua vez, se move com velocidade
em relação ao laboratório. Na água, a luz vai a
, com
. A ideia é usar a fórmula relativística de adição de velocidades para achar a velocidade da luz medida no laboratório e depois fazer a expansão para
. Vamos precisar então:
- Saber a fórmula de transformação de velocidades na Relatividade Restrita.
- Substituir a velocidade da luz na água e da água em movimento.
- Fazer uma série de Taylor (ou expansão de
) para o caso .
Passo 2
A Relatividade diz que, em 1D, se um objeto se move a
num referencial
que, por sua vez, se move a
em relação a
, então a velocidade
do objeto em
é
Isso vem direto da transformação de Lorentz para velocidades.
Passo 3
No nosso caso,
(velocidade da luz na água, vista do referencial da água) e
é a velocidade da água em relação ao laboratório. Basta substituir:
Pronto, essa é a resposta da parte (a).
Passo 4
Para
podemos aproximar
porque
é pequeno. Então
[
u
;\approx;
\Bigl(\tfrac{c}{n} + v\Bigr)\Bigl(1 - \tfrac{v}{n,c}\Bigr)
\frac{c}{n}\Bigl(1 - \frac{v}{n,c}\Bigr)
+
v\Bigl(1 - \frac{v}{n,c}\Bigr).
]
Desprezando termos da ordem
, fica
[
u
\approx
\frac{c}{n} - \frac{c}{n}\cdot\frac{v}{n,c} + v
\frac{c}{n} + v\Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr).
]
]
E essa é a parte (b).
Resposta
(a)
(b) Para :
(b) Para