O movimento de um meio transparente influencia a velocidade da luz. Este efeito foi observado pela primeira vez por Fizeau, em 1851. Considere um feixe de luz na água. A água se move com a velocidade v em um cano horizontal. Suponha que a luz se mova na mesma direção da água. A velocidade da luz em relação à água é c / n, onde n=1,33 é o índice de refração da água.
(a) Utilize a equação de transformação de velocidade para mostrar que a velocidade da luz medida no referencial do laboratório é
(b) Mostre que para v ll c, a expressão da parte (a) se torna, para uma boa aproximação,

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um feixe de luz viaja dentro de água que, por sua vez, se move com velocidade em relação ao laboratório. Na água, a luz vai a , com . A ideia é usar a fórmula relativística de adição de velocidades para achar a velocidade da luz medida no laboratório e depois fazer a expansão para . Vamos precisar então:
  1. Saber a fórmula de transformação de velocidades na Relatividade Restrita.
  2. Substituir a velocidade da luz na água e da água em movimento.
  3. Fazer uma série de Taylor (ou expansão de ) para o caso .

Passo 2

A Relatividade diz que, em 1D, se um objeto se move a u ;=; u' + v1 + dfracu',vc^2 num referencial que, por sua vez, se move a em relação a , então a velocidade do objeto em é
Isso vem direto da transformação de Lorentz para velocidades.

Passo 3

No nosso caso, u ;=; tfraccn + v1 + dfrac(c/n),vc^2 ;=; tfraccn + v1 + dfracvn,c (velocidade da luz na água, vista do referencial da água) e é a velocidade da água em relação ao laboratório. Basta substituir:
Pronto, essa é a resposta da parte (a).

Passo 4

Para 11 + tfracvn,c approx 1 - vn,c, podemos aproximar
u ;approx; l(tfraccn + vr)l(1 - tfracvn,cr) = cnl(1 - vn,cr) + vl(1 - vn,cr)
porque u approx cn - cncdotvn,c + v = cn + vl(1 - 1n^2r) é pequeno. Então
[
u
;\approx;
\Bigl(\tfrac{c}{n} + v\Bigr)\Bigl(1 - \tfrac{v}{n,c}\Bigr)

\frac{c}{n}\Bigl(1 - \frac{v}{n,c}\Bigr)
+
v\Bigl(1 - \frac{v}{n,c}\Bigr).
]
Desprezando termos da ordem , fica
[
u
\approx
\frac{c}{n} - \frac{c}{n}\cdot\frac{v}{n,c} + v

\frac{c}{n} + v\Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr).
]
E essa é a parte (b).

Resposta

(a)
(b) Para :

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