Um veículo espacial se distancia da Terra a uma velocidade de 0,800 c. Um astronauta no veículo mede um intervalo de tempo de 3,00s para girar seu corpo em 1,00 rev enquanto flutua no veículo. Qual intervalo de tempo é necessário para esta rotação segundo um observador na Terra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Relatividade Restrita. A gente tem um veículo espacial que está se afastando da Terra a 80% da velocidade da luz ( 0,800 c). Um astronauta dentro desse veículo leva 3 segundos para dar uma volta completa. A pergunta é: quanto tempo esse giro leva segundo alguém na Terra? Para resolver isso, vamos usar a dilatação do tempo, que mostra como o tempo parece passar de forma diferente para observadores em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a dilatação do tempo. Quando algo está se movendo a uma velocidade próxima à da luz, o tempo para esse objeto parece passar mais devagar quando observado de um referencial em repouso. A fórmula que a gente vai usar é:
De
Aqui, De é o tempo medido pelo observador na Terra, De é o tempo medido pelo astronauta (3,00 s) e gamma é o fator de Lorentz.

Passo 3

Vamos calcular o fator de Lorentz ( gamma). A fórmula para ele é:
gamma = 1raiz1 - (vc)^2
Onde v é a velocidade do veículo (0,800 c) e c é a velocidade da luz. Substituindo os valores:
gamma = 1raiz1 - (0,800)^2 = 1raiz1 - 0,64 = 1raiz0,36 = 10,6 approx 1,6667

Passo 4

Agora que temos gamma, vamos usar a fórmula da dilatação do tempo para encontrar De:
De

Resposta

O intervalo de tempo necessário para a rotação segundo um observador na Terra é de 5,00 segundos.

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