O movimento de um meio transparente influencia a velocidade da luz. Este efeito foi observado pela primeira vez por Fizeau, em 1851. Considere um feixe de luz na água. A água se move com a velocidade v em um cano horizontal. Suponha que a luz se mova na mesma direção da água. A velocidade da luz em relação à água é c / n, onde n=1,33 é o índice de refração da água.
© Argumente a favor ou contra a visão de que deveríamos esperar que o resultado fosse u=(c / n)+v segundo a transformação de Galileu e que a presença do termo -v/n2 representa um efeito relativístico que aparece até em velocidades não relativísticas. (d) Avalie u no limite conforme a velocidade da água se aproxima de c.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que um feixe de luz viaja dentro de água em um cano que se move com velocidade cn . Sabemos que, em relação à água parada, a luz vai a
sendo o índice de refração. Mas, como a água está se movendo, a velocidade da luz em relação ao solo muda. A gente vai discutir:
• O que a transformação de Galileu “esperaria” (parte c).
• Por que aparece um termo extra (efeito relativístico mesmo em velocidades baixas).
• E, por fim, calcular o que acontece quando (parte d).
Para isso vamos usar:
  1. A ideia de adição de velocidades clássica (Galileu).
  2. A fórmula de “arraste de Fresnel” que sai da relatividade restrita (expansão em ).

Passo 2

Primeiro, segundo Galileu, se você tem dois movimentos na mesma direção, basta somar as velocidades. Então você “esperaria”
urm Gal ;=;cn ;+; v
Mas o experimento de Fizeau mostrou que, na verdade, a luz sofre um “arraste” parcial pelo meio, e a velocidade medida é
u ;=;cn;+;vl(1-tfrac1n^2r)
Ou seja, tem um “-  u ;=;tfraccn+v,1+tfracvc,n,!, ” que não bate com a soma simples.
Teoria por trás: na relatividade, a composição de velocidades (luz em meio + movimento do meio) dá algo como
u approx cn + v,l(1-tfrac1n^2r)+Ol((v/c)^2r)
que expandindo em potências pequenas de (supondo ) fornece
Perceba que o termo sai justamente da correção relativística de 1ª ordem em . Isso mostra que
(a) a adição galileana pura (somar ) está errada mesmo para baixos,
(b) o tal é efeito relativístico de ordem , presente mesmo em “velocidades não relativísticas”.

Passo 3

Agora vamos ao limite quando a água fica absurdamente rápida, u(v) ;=;cn ;+; vl(1-tfrac1n^2r) . Basta pegar a fórmula exata de Fresnel (ou a aproximada, mas aqui vale usar a aproximada até 1ª ordem mesmo para ver o comportamento):
u(c);=;cn ;+;cl(1-tfrac1n^2r) ;=;cl(tfrac1n+1-tfrac1n^2r) ;=;cl(1+tfrac1n-tfrac1n^2r)
Colocando :

Resposta

© A gente não esperaria simplesmente u ;to; cl(1+tfrac1n-tfrac1n^2r) porque a soma galileana ignora correções da relatividade restrita. O termo vem da expansão em da composição relativística de velocidades e aparece mesmo para .
(d) No limite ,

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