O movimento de um meio transparente influencia a velocidade da luz. Este efeito foi observado pela primeira vez por Fizeau, em 1851. Considere um feixe de luz na água. A água se move com a velocidade
em um cano horizontal. Suponha que a luz se mova na mesma direção da água. A velocidade da luz em relação à água é
, onde
é o índice de refração da água.
© Argumente a favor ou contra a visão de que deveríamos esperar que o resultado fosse
segundo a transformação de Galileu e que a presença do termo -v/n2 representa um efeito relativístico que aparece até em velocidades não relativísticas. (d) Avalie u no limite conforme a velocidade da água se aproxima de c.
© Argumente a favor ou contra a visão de que deveríamos esperar que o resultado fosse
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que um feixe de luz viaja dentro de água em um cano que se move com velocidade
. Sabemos que, em relação à água parada, a luz vai a
sendo
o índice de refração. Mas, como a água está se movendo, a velocidade da luz em relação ao solo muda. A gente vai discutir:
• O que a transformação de Galileu “esperaria” (parte c).
• Por que aparece um termo extra (efeito relativístico mesmo em velocidades baixas).
• E, por fim, calcular o que acontece quando (parte d).
• O que a transformação de Galileu “esperaria” (parte c).
• Por que aparece um termo extra
• E, por fim, calcular o que acontece quando
Para isso vamos usar:
- A ideia de adição de velocidades clássica (Galileu).
- A fórmula de “arraste de Fresnel” que sai da relatividade restrita (expansão em
).
Passo 2
Primeiro, segundo Galileu, se você tem dois movimentos na mesma direção, basta somar as velocidades. Então você “esperaria”
Mas o experimento de Fizeau mostrou que, na verdade, a luz sofre um “arraste” parcial pelo meio, e a velocidade medida é
Ou seja, tem um “-
” que não bate com a soma simples.
Teoria por trás: na relatividade, a composição de velocidades (luz em meio + movimento do meio) dá algo como
que expandindo em potências pequenas de
(supondo
) fornece
Perceba que o termo
sai justamente da correção relativística de 1ª ordem em
. Isso mostra que
(a) a adição galileana pura (somar ) está errada mesmo para
baixos,
(b) o tal é efeito relativístico de ordem
, presente mesmo em “velocidades não relativísticas”.
(a) a adição galileana pura (somar
(b) o tal
Passo 3
Agora vamos ao limite quando a água fica absurdamente rápida,
. Basta pegar a fórmula exata de Fresnel (ou a aproximada, mas aqui vale usar a aproximada até 1ª ordem mesmo para ver o comportamento):
Colocando
:
Resposta
© A gente não esperaria simplesmente
porque a soma galileana ignora correções da relatividade restrita. O termo
vem da expansão em
da composição relativística de velocidades e aparece mesmo para
.
(d) No limite ,
(d) No limite