A velocidade de uma partícula é dada, em função do tempo, por
v(t)=sin (t) cos (t) m / s
Determine o deslocamento sofrido pela partícula nos pi2 primeiros segundos de movimento.

Passo 1

Então, o exercício diz que a velocidade de uma partícula é
v(t)=sin(t),cos(t)m/s
e pede o deslocamento nos primeiros segundos.
Conteúdo: integração de uma função de tempo para achar deslocamento (ou distância percorrida).
O que vamos precisar:
  • Entender que deslocamento é a integral de velocidade em relação ao tempo.
  • Saber integrar .

Passo 2

Lembra que deslocamento s=integral0^T v(t),dt entre integral0^pi/2 sin(t)cos(t),dt e é
Aqui . Então precisamos calcular

Passo 3

Para integrar u &= sin(t), du &= cos(t),dt , podemos usar duas ideias comuns:
  1. Reconhecer que integral sin(t)cos(t),dt = integral u,du = u^22 + C = sin^2(t)2 + C (identidade trig).
  2. Fazer substituição direta:
    • Seja .
    • Então .
      A integral vira .
Vamos seguir a substituição :
Assim,

Passo 4

Agora avaliamos de integral0^pi/2 sin(t)cos(t),dt = [sin^2(t)2]0^pi/2 = sin^2(pi/2)2 - sin^2(0)2 a 1^22 - 0^22 = 12 :
Sabendo que e ,

Resposta

O deslocamento da partícula nos primeiros segundos é metro.

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