Sendo gamma a densidade de espiras por unidade de comprimento em um trilho de um trem bala, calcule a força resultante em um vagão de comprimento L e peso P=mg. Qual distância o trem levitaria da via? Considere 2 trilhos. Massa do vagão: m=5 times 10^4 kg. Comprimento do vagão: L=25 m. Corrente: i=10^3A. Densidade de espiras: gamma=500 espiras / m. Gravidade: g=10 m / s^2. Área transversal da bobina: S=0,01 m^2. Permeabilidade do vácuo: mu0=10^-6.

Passo 1

Beleza, manda ver o que diz o enunciado: temos um vagão de trem–bala de massa m = 5×10⁴ kg e comprimento L = 25 m que “levita” acima de dois trilhos. Cada trilho é composto de espiras (loops) com densidade γ = 500 espiras/m, cada espira tem corrente i = 10³ A e área S = 0,01 m². O vácuo tem permeabilidade μ₀ = 10⁻⁶ (T·m)/A. A gravidade é g = 10 m/s².
O que o exercício pede:
  1. Calcular a força magnética resultante que atua no vagão (ela depende da altura h).
  2. A que distância h (equilíbrio) essa força equilibra o peso P = mg e, então, o trem “levita”.
Para resolver vamos usar:
– Momento de dipolo magnético de cada espira: m = i S.
– Campo magnético de uma cadeia (linear) de dipolos a uma altura h sobre o eixo.
– Força sobre um dipolo m em presença de gradiente de campo: F = m dB/dz.
– Superposição de duas rails e do número de espiras no vagão (γ L).

Passo 2

Primeiro, calculamos o momento magnético de uma espira (cada loop) do vagão:
m = i,S ;=; 10^3;rm A,times0,01;rm m^2 ;=; 10;rm Acdot m^2,

Passo 3

Agora precisamos do campo B que uma sequência de espiras (uma “linha” contínua com densidade γ) produz no ponto sobre o eixo, a uma altura z = h. O resultado padrão para uma linha infinita de dipolos idênticos (cada um de momento m) é:
B(h);=;mu0,gamma,m2,h^2,
Em seguida derivamos em relação a z para achar o gradiente dB/dz (na vertical):
$$\frac{dB}{dz}\Big|{z=h} ;=;\frac{d}{dz}\Big(\frac{\mu_0,\gamma,m}{2,z^2}\Big){z=h}
;=;-,\frac{\mu_0,\gamma,m}{h^3},. $$

Passo 4

Cada espira do vagão sente uma força
Frm espira ;=; m;dBdz ;=;10;l(mu0,gamma,10r)h^3 ;=;mu0,gamma,m^2h^3,,
em módulo.
No vagão inteiro há duas contribuições (uma de cada trilho) e, além disso, o vagão cobre L metros de trilho, então o número de espiras “sobre” cada trilho é γ L. Assim a força total para cima é:
F(h) =2;l[gamma,Lr];times Frm espira =2,gamma,L;mu0,gamma,m^2h^3 =2,mu0,gamma^2,m^2,Lh^3,

Passo 5

No ponto de levitação essa força magnética equilibra o peso:
F(h)=mg;Longrightarrow; 2,mu0,gamma^2,m^2,Lh^3=m,g ;Rightarrow; h^3=2,mu0,gamma^2,m^2,Lm,g =2,mu0,gamma^2,m,Lg,
Substituindo valores numéricos:
– μ₀=10⁻⁶, γ=500 m⁻¹, m=iS=10 A·m², L=25 m, g=10 m/s².
h^3 =2,(10^-6),(500)^2,(10)^2,(25)10 =2;10^-6;2,5times10^5;100;2510 =2,5times10^-3,, happroxl(2,5times10^-3r)^1/3 approx0,14;rm m,

Resposta

Força magnética em função da altura h:
F(h)=2,mu0,gamma^2,m^2,Lh^3,
E a altura de levitação (equilíbrio) é
happrox0,14;rm m,

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