Sendo
a densidade de espiras por unidade de comprimento em um trilho de um trem bala, calcule a força resultante em um vagão de comprimento
e peso
. Qual distância o trem levitaria da via? Considere 2 trilhos. Massa do vagão:
. Comprimento do vagão:
. Corrente:
. Densidade de espiras:
espiras
. Gravidade:
. Área transversal da bobina:
. Permeabilidade do vácuo:
.
Passo 1
Beleza, manda ver o que diz o enunciado: temos um vagão de trem–bala de massa m = 5×10⁴ kg e comprimento L = 25 m que “levita” acima de dois trilhos. Cada trilho é composto de espiras (loops) com densidade γ = 500 espiras/m, cada espira tem corrente i = 10³ A e área S = 0,01 m². O vácuo tem permeabilidade μ₀ = 10⁻⁶ (T·m)/A. A gravidade é g = 10 m/s².
O que o exercício pede:
- Calcular a força magnética resultante que atua no vagão (ela depende da altura h).
- A que distância h (equilíbrio) essa força equilibra o peso P = mg e, então, o trem “levita”.
Para resolver vamos usar:
– Momento de dipolo magnético de cada espira: m = i S.
– Campo magnético de uma cadeia (linear) de dipolos a uma altura h sobre o eixo.
– Força sobre um dipolo m em presença de gradiente de campo: F = m dB/dz.
– Superposição de duas rails e do número de espiras no vagão (γ L).
– Momento de dipolo magnético de cada espira: m = i S.
– Campo magnético de uma cadeia (linear) de dipolos a uma altura h sobre o eixo.
– Força sobre um dipolo m em presença de gradiente de campo: F = m dB/dz.
– Superposição de duas rails e do número de espiras no vagão (γ L).
Passo 2
Primeiro, calculamos o momento magnético de uma espira (cada loop) do vagão:
Passo 3
Agora precisamos do campo B que uma sequência de espiras (uma “linha” contínua com densidade γ) produz no ponto sobre o eixo, a uma altura z = h. O resultado padrão para uma linha infinita de dipolos idênticos (cada um de momento m) é:
Em seguida derivamos em relação a z para achar o gradiente dB/dz (na vertical):
$$\frac{dB}{dz}\Big|{z=h} ;=;\frac{d}{dz}\Big(\frac{\mu_0,\gamma,m}{2,z^2}\Big){z=h}
;=;-,\frac{\mu_0,\gamma,m}{h^3},. $$
Passo 4
Cada espira do vagão sente uma força
em módulo.
No vagão inteiro há duas contribuições (uma de cada trilho) e, além disso, o vagão cobre L metros de trilho, então o número de espiras “sobre” cada trilho é γ L. Assim a força total para cima é:
Passo 5
No ponto de levitação essa força magnética equilibra o peso:
Substituindo valores numéricos:
– μ₀=10⁻⁶, γ=500 m⁻¹, m=iS=10 A·m², L=25 m, g=10 m/s².
– μ₀=10⁻⁶, γ=500 m⁻¹, m=iS=10 A·m², L=25 m, g=10 m/s².
Resposta
Força magnética em função da altura h:
E a altura de levitação (equilíbrio) é