Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int\left(\frac{x^{4}-2 x^{2}+5}{5}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\left(\frac{x^{4}-2 x^{2}+5}{5}\right) dx.
Temos como dado a expressão em função da variável de integração \,x. O que se pede é uma primitiva (antiderivada) e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Usar propriedades básicas de integrais: fator constante pode sair da integral. Assim
\int\left(\frac{x^{4}-2 x^{2}+5}{5}\right) dx = \frac{1}{5}\int\bigl(x^{4}-2x^{2}+5\bigr)\,dx.
Regra usada: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx para constante a.

Passo 3

Usar linearidade da integral para separar a soma em termos mais simples:
\frac{1}{5}\left(\int x^{4}\,dx - 2\int x^{2}\,dx + \int 5\,dx\right).
Regra usada: \displaystyle \int\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.

Passo 4

Aplicar a regra do poder (power rule) para integrais de monômios: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Então:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 5\,dx=5x.
E com o fator -2 temos -2\int x^{2}\,dx=-2\cdot\frac{x^{3}}{3}=-\frac{2x^{3}}{3}.

Passo 5

Substituindo na expressão e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5}:
\frac{1}{5}\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{3}}{3}+5x\right) = \frac{x^{5}}{25}-\frac{2x^{3}}{15}+x.
Não esquecer a constante de integração C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas confortante): derivando o resultado obtido volta-se ao integrando original:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{5}}{25}-\frac{2x^{3}}{15}+x\right) =\frac{x^{4}}{5}-\frac{2x^{2}}{5}+1 =\frac{x^{4}-2x^{2}+5}{5},
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{x^{5}}{25}-\dfrac{2x^{3}}{15}+x+C

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