Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com a função de posição dada por s(t)= t^{3}-6 t^{2}+9 t+5 (onde s é em metros e t em segundos).
  • a) Determine a função da velocidade v(t).
  • b) Determine a função da aceleração a(t).
  • c) Em que instante a aceleração é nula?

Passo 1

O enunciado dá a função posição \,s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t+5\, (metros, t em segundos) e pergunta:
  • (a) determinar a função da velocidade v(t);
  • (b) determinar a função da aceleração a(t);
  • (c) em que instante a aceleração é nula.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição da partícula é \,s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t+5.
  • Unidades: \,s em metros e t em segundos.
  • As três perguntas estão relacionadas: velocidade é derivada da posição, aceleração é derivada da velocidade.

Passo 2

O que é velocidade e como calculamos ela a partir de s(t)?
  • A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é a derivada de s em relação a t. Em notação:
v(t)=\frac{d}{dt}s(t)=s'(t).
  • Para derivar polinômios usamos a regra do poder (power rule): se \,f(t)=t^{n}, então \,f'(t)=n t^{n-1}. Essa regra aplica-se termo a termo e a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade).
  • Vamos aplicar essas regras termo a termo em s(t). Aqui cada termo é um monômio do tipo c\,t^{n} (com c constante).

Passo 3

Calcular v(t)=s'(t) passo a passo:
  • Derivada de \,t^{3} é \,3t^{2} (pela regra do poder).
  • Derivada de -6t^{2} é -6\cdot 2t^{1}=-12t.
  • Derivada de 9t é 9 (pois t é t^{1} e fica 1\cdot 9 t^{0}=9).
  • Derivada de 5 (constante) é 0.
Juntando os termos:
v(t)=s'(t)=3t^{2}-12t+9.

Passo 4

O que é aceleração e como calculamos ela?
  • A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada de v(t):
a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=v'(t)=s''(t).
  • Novamente usamos a regra do poder e derivamos termo a termo o polinômio v(t)=3t^{2}-12t+9.

Passo 5

Calcular a(t)=v'(t) passo a passo:
  • Derivada de 3t^{2} é 3\cdot 2t^{1}=6t.
  • Derivada de -12t é -12.
  • Derivada de 9 é 0.
Portanto:
a(t)=v'(t)=6t-12.

Passo 6

Determinar o instante em que a aceleração é nula:
  • Resolver a equação \,a(t)=0\,:
6t-12=0.
  • Isolando t:
6t=12 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{12}{6}=2.
  • Unidade: t=2\\ \text{s}. Verificação rápida: a(2)=6\cdot 2-12=12-12=0.

Resposta

(a) v(t)=3t^{2}-12t+9
(b) a(t)=6t-12
(c) t=2\\ \text{s}

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