Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta com a função de posição dada por
(onde
é em metros e
em segundos).
- a) Determine a função da velocidade
.
- b) Determine a função da aceleração
.
- c) Em que instante a aceleração é nula?
Passo 1
O enunciado dá a função posição
(metros,
em segundos) e pergunta:
- (a) determinar a função da velocidade
; - (b) determinar a função da aceleração
; - (c) em que instante a aceleração é nula.
Informações relevantes fornecidas:
- A posição da partícula é
. - Unidades:
em metros e em segundos. - As três perguntas estão relacionadas: velocidade é derivada da posição, aceleração é derivada da velocidade.
Passo 2
O que é velocidade e como calculamos ela a partir de
?
- A velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é a derivada de em relação a . Em notação:
- Para derivar polinômios usamos a regra do poder (power rule): se
, então . Essa regra aplica-se termo a termo e a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade). - Vamos aplicar essas regras termo a termo em
. Aqui cada termo é um monômio do tipo (com constante).
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Derivada de
é (pela regra do poder). - Derivada de
é . - Derivada de
é (pois é e fica ). - Derivada de
(constante) é .
Juntando os termos:
Passo 4
O que é aceleração e como calculamos ela?
- A aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada de :
- Novamente usamos a regra do poder e derivamos termo a termo o polinômio
.
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 6
Determinar o instante em que a aceleração é nula:
- Resolver a equação
:
- Isolando
:
- Unidade:
. Verificação rápida: .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)