O movimento do oscilador forçado e amortecido é regido pela equação:
Suponha que a força externa seja oscilatória:
, sendo
a frequência angular da força externa.
Uma possível solução para esse sistema é:
.
(a) Intuitivamente, qual será o comportamento do sistema ao longo do tempo?
(b) Explique o significado físico de cada um dos dois termos da solução.
(c) Mostre que essa solução engloba, como casos particulares, as soluções dos casos simples (sem amortecimento nem força externa) e amortecido (sem força externa).
(d) Discuta o caso de ressonância: o que ocorre quando
? Como o amortecimento afeta esse fenômeno?
Uma possível solução para esse sistema é:
(a) Intuitivamente, qual será o comportamento do sistema ao longo do tempo?
(b) Explique o significado físico de cada um dos dois termos da solução.
(c) Mostre que essa solução engloba, como casos particulares, as soluções dos casos simples (sem amortecimento nem força externa) e amortecido (sem força externa).
(d) Discuta o caso de ressonância: o que ocorre quando
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico forçado e amortecido, cuja equação é
Foi dada uma solução geral do tipo
Precisamos dar conta de cada item:
(a) comportamento ao longo do tempo;
(b) significado físico dos dois termos;
(c) mostrar que recupera os casos sem amortecimento nem força externa e só amortecido;
(d) discutir ressonância e o papel do amortecimento.
(a) comportamento ao longo do tempo;
(b) significado físico dos dois termos;
(c) mostrar que recupera os casos sem amortecimento nem força externa e só amortecido;
(d) discutir ressonância e o papel do amortecimento.
Passo 2
(a) No início o movimento é combinação da parte transitória e da parte forçada. A parte transitória
decai exponencialmente (por causa de
). Depois que esse termo fica desprezível, sobra apenas a oscilação permanente, de frequência
, cujo coeficiente é o segundo termo da solução. Ou seja, no regime estacionário o sistema oscila forçadamente em
.
Passo 3
(b) O primeiro termo
é a solução homogênea do oscilador amortecido — depende das condições iniciais e decai devido ao fator
. Já o segundo termo
é a solução particular forçada, que descreve a resposta em regime estacionário à excitação de frequência
, com amplitude fixa dependendo do desvio
e do amortecimento
.
Passo 4
(c) Vamos ver dois casos:
Caso sem amortecimento nem força externa
Colocando e
, o segundo termo some e ficamos com
Colocando
que é a solução do oscilador harmônico simples.
Caso amortecido sem força externa
Tomando , sobra
Tomando
que é exatamente a solução do oscilador amortecido livre.
Passo 5
(d) No caso de ressonância,
, o denominador
atinge valor mínimo, de ordem para
. Isso faz a amplitude da resposta estacionária subir até
atinge valor mínimo, de ordem
Quanto menor o amortecimento
, maior o pico de amplitude e mais pronunciada a ressonância. Se
, o pico tenderia a infinito (ressonância não amortecida).
Resposta
(a) Inicialmente há um regime transitório que decai exponencialmente até zerar; em seguida o sistema oscila permanentemente em
.
(b) O termo é a solução transitória livre (homogênea) amortecida; o outro é a resposta particular forçada, de frequência
.
(c) Para e
recupera o oscilador simples
; para
fica o oscilador amortecido livre
.
(d) Em ressonância a amplitude estacionária maximiza em cerca de
; menor amortecimento implica pico mais alto e banda de ressonância mais estreita.
(b) O termo
(c) Para
(d) Em ressonância