O movimento do oscilador forçado e amortecido é regido pela equação:
d^2 x(t)d t^2+2 gamma d x(t)d t+omega0^2 x(t)=f(t)
Suponha que a força externa seja oscilatória: f(t)=f0 cos (omega t), sendo omega a frequência angular da força externa.
Uma possível solução para esse sistema é:
x(t)=A e^-gamma t cos (omega0 t+phi)+f0 cos (omega t)raiz(omega0^2-omega^2)^2+4 gamma^2 omega^2.
(a) Intuitivamente, qual será o comportamento do sistema ao longo do tempo?
(b) Explique o significado físico de cada um dos dois termos da solução.
(c) Mostre que essa solução engloba, como casos particulares, as soluções dos casos simples (sem amortecimento nem força externa) e amortecido (sem força externa).
(d) Discuta o caso de ressonância: o que ocorre quando omega approx omega0 ? Como o amortecimento afeta esse fenômeno?

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico forçado e amortecido, cuja equação é
d^2xdt^2 + 2gammadxdt + omega0^2x = f0cos(omega t)
Foi dada uma solução geral do tipo
x(t) = A e^-gamma tcosl(omega0t + phir) ;+;f0cos(omega t)raizl(omega0^2-omega^2r)^2 + 4gamma^2omega^2
Precisamos dar conta de cada item:
(a) comportamento ao longo do tempo;
(b) significado físico dos dois termos;
(c) mostrar que recupera os casos sem amortecimento nem força externa e só amortecido;
(d) discutir ressonância e o papel do amortecimento.

Passo 2

(a) No início o movimento é combinação da parte transitória e da parte forçada. A parte transitória A e^-gamma tcos(omega0t+phi) decai exponencialmente (por causa de gamma>0). Depois que esse termo fica desprezível, sobra apenas a oscilação permanente, de frequência omega, cujo coeficiente é o segundo termo da solução. Ou seja, no regime estacionário o sistema oscila forçadamente em omega.

Passo 3

(b) O primeiro termo
A e^-gamma tcosl(omega0t + phir)
é a solução homogênea do oscilador amortecido — depende das condições iniciais e decai devido ao fator e^-gamma t. Já o segundo termo
f0cos(omega t)raizl(omega0^2-omega^2r)^2 + 4gamma^2omega^2
é a solução particular forçada, que descreve a resposta em regime estacionário à excitação de frequência omega, com amplitude fixa dependendo do desvio omega0^2-omega^2 e do amortecimento gamma.

Passo 4

(c) Vamos ver dois casos:
Caso sem amortecimento nem força externa
Colocando gamma=0 e f0=0, o segundo termo some e ficamos com
x(t)=Acos(omega0t+phi),
que é a solução do oscilador harmônico simples.
Caso amortecido sem força externa
Tomando f0=0, sobra
x(t)=A e^-gamma tcos(omega0t+phi),
que é exatamente a solução do oscilador amortecido livre.

Passo 5

(d) No caso de ressonância, omegaapproxomega0, o denominador
raiz(omega0^2-omega^2)^2+4gamma^2omega^2
atinge valor mínimo, de ordem 2gamma,omega0 para omega=omega0. Isso faz a amplitude da resposta estacionária subir até
f02gamma,omega0
Quanto menor o amortecimento gamma, maior o pico de amplitude e mais pronunciada a ressonância. Se gammato0, o pico tenderia a infinito (ressonância não amortecida).

Resposta

(a) Inicialmente há um regime transitório que decai exponencialmente até zerar; em seguida o sistema oscila permanentemente em omega.
(b) O termo A e^-gamma tcos(omega0t+phi) é a solução transitória livre (homogênea) amortecida; o outro é a resposta particular forçada, de frequência omega.
(c) Para gamma=0 e f0=0 recupera o oscilador simples Acos(omega0t+phi); para f0=0 fica o oscilador amortecido livre A e^-gamma tcos(omega0t+phi).
(d) Em ressonância omegaapproxomega0 a amplitude estacionária maximiza em cerca de f0/(2gammaomega0); menor amortecimento implica pico mais alto e banda de ressonância mais estreita.

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