A solução do oscilador harmônico amortecido no espaço-
é:
,
. No caso criticamento amortecido, temos
, ou seja,
.
(a) Mostre que, nesse caso, a solução no domínio do tempo é:
(b) Qual é a interpretação física dessa solução?
O que ela indica sobre o comportamento do sistema?
(a) Mostre que, nesse caso, a solução no domínio do tempo é:
Passo 1
O enunciado nos dá a solução no domínio de Laplace para o oscilador amortecido:
com
. No caso criticamente amortecido temos
, ou seja
. Precisamos (a) inverter esta transformada e mostrar que
e (b) interpretar fisicamente esse resultado.
Passo 2
Substituímos
em
. Então
Passo 3
Usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando termo a termo:
Passo 4
Somando os dois termos obtemos
Fisicamente, este resultado mostra que no regime criticamente amortecido não há oscilações: a resposta decai exponencialmente ao equilíbrio. A presença do fator
indica que, logo após
, a amplitude pode crescer um pouco (se
) antes de decair, mas sem ultrapassar o ponto de equilíbrio. Esse é o caso de amortecimento que retorna mais rápido ao repouso sem oscilar.
Resposta
(a)
(b) Trata-se do amortecimento crítico: o sistema volta ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações, com decaimento exponencial modulado por um termo linear em
.