A solução do oscilador harmônico amortecido no espaço- s é:
x(s)=x0 cdot s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) cdot 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso criticamento amortecido, temos b^2=0, ou seja, omega0^2=gamma^2.
(a) Mostre que, nesse caso, a solução no domínio do tempo é:
x(t)=[x0+(v0+gamma x0) t] e^-gamma t
(b) Qual é a interpretação física dessa solução?
O que ela indica sobre o comportamento do sistema?

Passo 1

O enunciado nos dá a solução no domínio de Laplace para o oscilador amortecido:
x(s)=x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 +l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso criticamente amortecido temos b^2=0, ou seja omega0^2=gamma^2. Precisamos (a) inverter esta transformada e mostrar que
x(t)=l[x0+(v0+gamma x0),tr],e^-gamma t,
e (b) interpretar fisicamente esse resultado.

Passo 2

Substituímos b^2=0 em x(s). Então
x(s) = x0,s+gamma(s+gamma)^2 + l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2 = x0,s+gamma(s+gamma)^2 + l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2

Passo 3

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1ls+gamma(s+gamma)^2r = e^-gamma t, L^-1l1(s+gamma)^2r = t,e^-gamma t
Aplicando termo a termo:
L^-1x0,tfracs+gamma(s+gamma)^2 = x0,e^-gamma t, L^-1ll(v0+gamma x0r)tfrac1(s+gamma)^2r = (v0+gamma x0),t,e^-gamma t

Passo 4

Somando os dois termos obtemos
x(t)=x0,e^-gamma t+(v0+gamma x0),t,e^-gamma t =l[x0+(v0+gamma x0),tr],e^-gamma t
Fisicamente, este resultado mostra que no regime criticamente amortecido não há oscilações: a resposta decai exponencialmente ao equilíbrio. A presença do fator t indica que, logo após t=0, a amplitude pode crescer um pouco (se v0+gamma x0>0) antes de decair, mas sem ultrapassar o ponto de equilíbrio. Esse é o caso de amortecimento que retorna mais rápido ao repouso sem oscilar.

Resposta

(a) x(t)=l[x0+(v0+gamma x0),tr],e^-gamma t
(b) Trata-se do amortecimento crítico: o sistema volta ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações, com decaimento exponencial modulado por um termo linear em t.

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