O movimento de uma partícula é descrito pela função vetorial
r(t)=(t^2, sen t-t cos t, cos t+t sen t)
Determine a distância percorrida pertícula no intervalo de tempo [0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função vetorial que descreve o movimento de uma partícula ao longo do tempo:
r(t) = (t^2, sin t - t cos t, cos t + t sin t)
Queremos descobrir a distância que essa partícula percorre no intervalo de tempo de 0 a pi. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para funções vetoriais. Vamos precisar derivar a função vetorial e integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) em relação a t. A derivada nos dá a velocidade da partícula em cada instante de tempo.
r'(t) = (ddt(t^2), ddt(sin t - t cos t), ddt(cos t + t sin t))
Vamos calcular cada componente:
  1. Para a primeira componente:
ddt(t^2) = 2t
  1. Para a segunda componente:
ddt(sin t - t cos t) = cos t - (cos t - t sin t) = cos t - cos t + t sin t = t sin t
  1. Para a terceira componente:
ddt(cos t + t sin t) = -sin t + (sin t + t cos t) = -sin t + sin t + t cos t = t cos t
Então, a derivada da função vetorial é:
r'(t) = (2t, t sin t, t cos t)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) dessa derivada, que representa a velocidade da partícula. A fórmula para a norma de um vetor (a, b, c) é:
|r'(t)| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso à nossa derivada:
|r'(t)| = raiz(2t)^2 + (t sin t)^2 + (t cos t)^2 = raiz4t^2 + t^2 sin^2 t + t^2 cos^2 t
Podemos fatorar t^2 dentro da raiz:
|r'(t)| = raizt^2 (4 + sin^2 t + cos^2 t) = t raiz4 + sin^2 t + cos^2 t

Passo 4

Observamos que sin^2 t + cos^2 t = 1 (uma identidade trigonométrica básica). Portanto:
|r'(t)| = t raiz4 + 1 = t raiz5 = raiz5 , t

Passo 5

Agora, para encontrar a distância percorrida pela partícula no intervalo [0, pi], precisamos integrar a velocidade |r'(t)| nesse intervalo:
Distância = integral0^pi |r'(t)| , dt = integral0^pi raiz5 , t , dt â
Como raiz5 é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Distância = raiz5 integral0^pi t , dt â

Passo 6

Vamos calcular a integral integral0^pi t , dt:
integral t , dt = t^22 + C
Aplicando os limites de 0 a pi:
[t^22]0^pi = pi^22 - 0^22 = pi^22

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o resultado da integral pela constante raiz5:
Distância = raiz5 times pi^22 = raiz5 , pi^22 â

Resposta

A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo [0, pi] é:
raiz5 , pi^22

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