O movimento de uma partícula é descrito pela função vetorial
Determine a distância percorrida pertícula no intervalo de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função vetorial que descreve o movimento de uma partícula ao longo do tempo:
Queremos descobrir a distância que essa partícula percorre no intervalo de tempo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco para funções vetoriais. Vamos precisar derivar a função vetorial e integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade da partícula em cada instante de tempo.
Vamos calcular cada componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então, a derivada da função vetorial é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) dessa derivada, que representa a velocidade da partícula. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso à nossa derivada:
Podemos fatorar
dentro da raiz:
Passo 4
Observamos que
(uma identidade trigonométrica básica). Portanto:
Passo 5
Agora, para encontrar a distância percorrida pela partícula no intervalo
, precisamos integrar a velocidade
nesse intervalo:
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral
:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o resultado da integral pela constante
:
Resposta
A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo
é: