De repente um grupo de astrônomos avistam um objeto no espaço seguindo uma trajetoria modelada pela função vetorial:
e todos se perguntam: donde tal objeto saiu?. Responda a pergunta dos astrônomos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! Temos um grupo de astrônomos que observaram um objeto no espaço seguindo uma trajetória descrita pela função vetorial:
O desafio é descobrir de onde esse objeto saiu. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente analisando a posição inicial do objeto.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que a função vetorial
nos diz. Ela descreve a posição do objeto no espaço em função do tempo
. Cada componente da função representa a posição nas direções
,
e
respectivamente.
Nosso objetivo é encontrar a posição inicial do objeto, ou seja, onde ele estava no começo da observação, quando
.
Passo 3
Contudo, ao tentar substituir
diretamente na função, percebemos que temos divisões por zero nas duas primeiras componentes:
Isso significa que a função não está definida em
. Mas não se preocupa, podemos resolver isso calculando o limite das componentes quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite de cada componente quando
:
- Para a componente
:
Sabemos que
. Vamos fazer uma substituição
:
- Para a componente
:
Aqui, reconhecemos que
, onde
é uma constante. Então:
- Para a componente
:
Passo 5
Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
Isso significa que, quanto mais próximo nos aproximamos de
, a posição do objeto se aproxima do ponto
.
Resposta
O objeto saiu do ponto
no espaço.