De repente um grupo de astrônomos avistam um objeto no espaço seguindo uma trajetoria modelada pela função vetorial:
r(t)=(tan 3 tt, e^2 t-1t, t^3)
e todos se perguntam: donde tal objeto saiu?. Responda a pergunta dos astrônomos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! Temos um grupo de astrônomos que observaram um objeto no espaço seguindo uma trajetória descrita pela função vetorial:
r(t) = (tan 3 tt, e^2 t - 1t, t^3)
O desafio é descobrir de onde esse objeto saiu. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente analisando a posição inicial do objeto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que a função vetorial r(t) nos diz. Ela descreve a posição do objeto no espaço em função do tempo t. Cada componente da função representa a posição nas direções x, y e z respectivamente.
Nosso objetivo é encontrar a posição inicial do objeto, ou seja, onde ele estava no começo da observação, quando t = 0.

Passo 3

Contudo, ao tentar substituir t = 0 diretamente na função, percebemos que temos divisões por zero nas duas primeiras componentes:
tan 3tt e e^2t - 1t
Isso significa que a função não está definida em t = 0. Mas não se preocupa, podemos resolver isso calculando o limite das componentes quando t se aproxima de 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite de cada componente quando t to 0:
  1. Para a componente x(t) = tan 3tt:
limt to 0 tan 3tt
Sabemos que limu to 0 tan uu = 1. Vamos fazer uma substituição u = 3t:
limt to 0 tan 3tt = limu to 0 tan uu/3 = 3 cdot limu to 0 tan uu = 3 cdot 1 = 3
  1. Para a componente y(t) = e^2t - 1t:
limt to 0 e^2t - 1t
Aqui, reconhecemos que limt to 0 e^kt - 1t = k, onde k é uma constante. Então:
limt to 0 e^2t - 1t = 2
  1. Para a componente z(t) = t^3:
limt to 0 t^3 = 0

Passo 5

Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
limt to 0 r(t) = (3, 2, 0)
Isso significa que, quanto mais próximo nos aproximamos de t = 0, a posição do objeto se aproxima do ponto (3, 2, 0).

Resposta

O objeto saiu do ponto (3,, 2,, 0) no espaço.

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