O movimento de uma partícula de massa m conectada a uma mola é descrito por x(t)=10,0 sin (pi t). Em que momento (em s) a energia potencial é igual à energia cinética?

Passo 1

Resumo do enunciado:
A partícula de massa m está ligada a uma mola e descreve um movimento harmônico simples dado por
x(t) = 10,0 ,sin(pi t),
Queremos saber em que instante a energia potencial da mola é igual à energia cinética da partícula.
Conteúdo da matéria:
  • Movimento Harmônico Simples (MHS)
  • Energia potencial elástica:
  • Energia cinética:
  • Relação entre constante elástica , massa e frequência angular :

    O que vamos precisar:
  1. Derivar para obter a velocidade .
  2. Escrever as expressões de e .
  3. Igualar e resolver para .

Passo 2

Calcular a velocidade x(t) = 10,sin(pi t), .
Como
v(t) = ddtl[10,sin(pi t)r] = 10 cdot pi ,cos(pi t) = 10pi,cos(pi t),
usamos a derivada de :

Passo 3

Escrever as energias:
  1. Energia potencial elástica: EP = tfrac12,k,x^2 = tfrac12,k,(10,sin(pi t))^2 = tfrac12,k cdot 100,sin^2(pi t)
  2. Energia cinética: EC = tfrac12,m,v^2 = tfrac12,m,(10pi,cos(pi t))^2 = tfrac12,m cdot 100pi^2,cos^2(pi t)

Passo 4

Igualar tfrac12,k cdot 100,sin^2(pi t) ;=; tfrac12,m cdot 100pi^2,cos^2(pi t) :
k,sin^2(pi t) = m,pi^2,cos^2(pi t) Longrightarrow km = pi^2 ;Longrightarrow; pi^2,sin^2(pi t) = pi^2,cos^2(pi t)
Podemos simplificar sin^2(pi t) = cos^2(pi t) Longrightarrow tan^2(pi t) = 1 e de ambos os lados, e usar :
Dividindo por , vem

Passo 5

Resolver tan(pi t) = pm 1 Longrightarrow pi t = pi4 + n,pi2, :
t = 14 + n2 = 2n + 14 l(n in Zr)
onde é inteiro.
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Resposta

Os instantes em que a energia potencial é igual à cinética são
boxed,t = 2n+14 s, n = 0,1,2,dots,
e o primeiro momento positivo é .

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