Reescreva a equação da órbita usando o resultado de
em função de
e
, obtido no item (8). Defina
e
(onde
latus rectum e
, é a excentricidade da órbita) e reescreva a eq. da órbita em termos destes parâmetros. Classifique as órbitas de acordo com diferentes valores da excentricidade:
. A partir do gráfico de
para um campo
, e da dependência de
com a energia
, relacione as órbitas de acordo com os valores correspondentes de E .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com a equação da órbita de um corpo sob a influência de uma força central. Precisamos reescrever essa equação usando a relação de
em função de
(energia) e
(momento angular). Além disso, vamos definir dois parâmetros importantes:
e
, que representam, respectivamente, a metade do semieixo maior (relacionado ao latus rectum) e a excentricidade da órbita. Para resolver isso, vamos precisar das equações da mecânica orbital e entender como a força central afeta o movimento do corpo.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação da órbita. A equação geral da órbita em coordenadas polares é dada por:
Aqui,
é a distância do corpo ao centro da força,
é o ângulo polar,
é uma constante relacionada à força,
é a energia, e
é o momento angular. Usando a relação
que foi dada no item (8), substituímos
na equação acima.
Passo 3
Agora, vamos definir os parâmetros
e
:
-
: É a metade do semieixo maior da órbita, relacionado ao latus rectum. Podemos expressar latus rectum. -
: É a excentricidade da órbita, que determina a forma da órbita. Valores diferentes de correspondem a diferentes tipos de órbitas.
Com essas definições, reescrevemos a equação da órbita em termos de
e
:
Passo 4
Agora, vamos classificar as órbitas de acordo com os valores de
:
-
: A órbita é hiperbólica. O corpo tem energia suficiente para escapar do campo central, resultando em uma trajetória aberta. -
: A órbita é parabólica. É o caso limítrofe entre trajetórias fechadas e abertas. -
: A órbita é elíptica. O corpo fica preso em uma trajetória fechada ao redor do centro da força. -
: A órbita é circular. A distância permanece constante, pois não há excentricidade.
Passo 5
Vamos analisar a relação entre a excentricidade
e a energia
usando o gráfico da função potencial
para o campo
, onde
.
No gráfico
, diferentes valores de energia
determinam o tipo de órbita:
-
Para
: A energia é positiva, indicando uma órbita hiperbólica ( ). O corpo tem energia suficiente para escapar. -
Para
: A energia é zero, correspondendo a uma órbita parabólica ( ). -
Para
: A energia está entre zero e o mínimo do potencial, resultando em órbitas elípticas ( ). -
Para
: A energia atinge o mínimo do potencial, levando a uma órbita circular ( ).
Resposta
Reescrevemos a equação da órbita como
, onde
é metade do semieixo maior e
é a excentricidade. As órbitas são classificadas da seguinte forma:
- Hiperbólica (
) para - Parabólica (
) para - Elíptica (
) para - Circular (
) para
Isso relaciona os tipos de órbitas aos valores de energia
com base no gráfico de
para o campo
.