Movimento de Projétil. Determine as componentes tangencial e normal da aceleração para um projétil lançado com velocidade inicial v0, formando um ângulo theta com a horizontal.
(a) Encontre expressões gerais para aT(t) e aN(t) ao longo da trajetória.
(b) Quais são os valores de aT e aN quando o projétil atinge a altura máxima?
Considere que o movimento ocorre no plano x y, sob ação da aceleração da gravidade g=-g j, desprezando resistência do ar.

Passo 1

O enunciado descreve um projétil lançado no plano xy com velocidade inicial v(0)=v0costheta,i+v0sintheta,j e aceleração constante a=-g,j. Precisamos decompor a em componentes tangencial aT (paralela à direção de v) e normal aN (perpendicular a v) ao longo da trajetória. Vamos usar projeções e produto vetorial para encontrar expressões em função do tempo e depois avaliar no instante de altura máxima.

Passo 2

Escrevemos a velocidade genérica e sua norma:
v(t)=v0costheta,i+l(v0sintheta - g,tr),j,
v(t)=llVert v(t)rrVert = raizl(v0costhetar)^2+l(v0sintheta - g,tr)^2

Passo 3

A componente tangencial vem da projeção de a em v:
aT(t) =acdotv(t)v(t) =(-g,j)cdotl(v0costheta,i+(v0sintheta - g,t),jr)v(t) =-gl(v0sintheta - g,tr)v(t)

Passo 4

A componente normal usa o módulo do produto vetorial em 2D:
aN(t) =llvertatimesv(t)rrvertv(t) =lvert(-g,j)timesl(v0costheta,i+(v0sintheta - >),jr)rvertv(t) =g,v0costhetav(t)

Passo 5

No instante de altura máxima tH satisfaz vy(tH)=v0sintheta - g,tH=0, logo
tH=v0sinthetag, v(tH)=v0costheta
Substituindo em aT e aN obtemos
aT(tH) =-gcdot 0v0costheta=0, aN(tH) =g,v0costhetav0costheta=g

Resposta

(a)
aT(t)=-gl(v0sintheta - g,tr)raizl(v0costhetar)^2+l(v0sintheta - g,tr)^2,
aN(t)=g,v0costhetaraizl(v0costhetar)^2+l(v0sintheta - g,tr)^2
(b) No ponto de altura máxima:
aT=0, aN=g

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