Utilize a fórmula alternativa abaixo para determinar o vetor normal unitário principal N(t) para cada função vetorial r(t) indicada:
N(t)=(v cdot v) a-(v cdot a) v|(v cdot v) a-(v cdot a) v|
onde v=r^prime(t) é a velocidade e a=v^prime(t)=r^"(t) é a aceleração.
r(t)=5 cos t i+5 sin t j+3 t k

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário principal N(t) da curva
r(t)=5cos t,i+5sin t,j+3t,k
usando a fórmula alternativa
N(t) =l(vcdotvr)a-l(vcdotar)v l|l(vcdotvr)a-l(vcdotar)vr|,
onde v=r'(t) é a velocidade e a=v'(t) é a aceleração.

Passo 2

Calcular v(t) e a(t).
v(t)=r'(t) =l(-5sin tr)i+l(5cos tr)j+3,k,
a(t)=v'(t) =l(-5cos tr)i+l(-5sin tr)j+0,k

Passo 3

Calcular os produtos internos vcdotv e vcdota.
vcdotv =(-5sin t)^2+(5cos t)^2+3^2 =25sin^2t+25cos^2t+9 =34,
vcdota =(-5sin t)(-5cos t)+(5cos t)(-5sin t)+3cdot0 =25sin tcos t-25sin tcos t =0

Passo 4

Montar o numerador da fórmula:
(vcdotv),a - (vcdota),v =34,a-0cdotv =34l(-5cos t,i-5sin t,jr) =l(-170cos t,-170sin t,0r)

Passo 5

Calcular a norma do numerador. Como |a|=raiz(-5cos t)^2+(-5sin t)^2=5, temos
l|34,ar|=34cdot5=170

Passo 6

Dividir o numerador pela sua norma para obter N(t):
N(t) =(-170cos t,-170sin t,0)170 =(-cos t,-sin t,0)

Resposta

N(t)=-cos t,i-sin t,j

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