No movimento unidimensional uniformemente acelerado, considerando uma partícula com aceleração
saindo da origem e partindo do repouso, determine, utilizando os conceitos de derivada e integral:
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!
Da mesma forma, a partir de
, onde
denota o espaço percorrido, obtenha o valor de
. (Qual equação da aceleração constante é útil nesse caso?)
O valor de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- A aceleração é constante e igual a
. - A partícula sai da origem, portanto
. - Parte do repouso, portanto
. - Perguntas pedidas:
- Obter
. - Obter
.
- Obter
Passo 2
Relação entre aceleração e velocidade (no sentido de cálculo): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. Como
é constante, podemos integrar essa equação para obter a velocidade.
Explicação didática curta sobre integração aqui: integrar
em relação a
significa somar (acumular) pequenas mudanças de velocidade ao longo do tempo; a integral de uma constante
é
mais uma constante de integração que representa a velocidade inicial.
Escrevendo a integral em forma matemática:
O lado esquerdo simplifica para
(mais uma constante) e o direito é
mais a constante de integração. Portanto
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
para determinar
:
Substituindo
obtemos
Isto é também a famosa fórmula para aceleração constante escrita como
, onde
é a velocidade inicial; aqui
, então
.
Passo 4
Agora usamos a relação entre velocidade e posição: a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo,
. Para achar
integramos
.
Explicação didática: integrar a velocidade no tempo soma os pequenos deslocamentos e dá a posição (ou deslocamento) acumulada. Se
for uma função simples, integramos termo a termo e lembramos de adicionar uma constante de integração que será ajustada pela posição inicial.
Escrevendo a integral:
Substituindo
temos
Passo 5
Determinamos a constante
usando
:
Logo
Outra forma rápida (fórmula conhecida) para movimento com aceleração constante é
Substituindo
,
e
obtemos
o mesmo resultado.
Passo 6
Calculamos os valores pedidos substituindo
:
Para a velocidade:
Para o espaço: