No movimento unidimensional uniformemente acelerado, considerando uma partícula com aceleração a=\frac{d v}{d t}=2 \frac{\mathrm{~m}}{\varsigma^{2}} saindo da origem e partindo do repouso, determine, utilizando os conceitos de derivada e integral:

Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO ".", não utilize a vírgula!

Da mesma forma, a partir de v(t)=\frac{d s}{d t}, onde s(t) denota o espaço percorrido, obtenha o valor de s(8). (Qual equação da aceleração constante é útil nesse caso?)
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O valor de v(8).
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Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • A aceleração é constante e igual a a=\dfrac{dv}{dt}=2\\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}.
  • A partícula sai da origem, portanto s(0)=0.
  • Parte do repouso, portanto v(0)=0.
  • Perguntas pedidas:
    1. Obter s(8).
    2. Obter v(8).

Passo 2

Relação entre aceleração e velocidade (no sentido de cálculo): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \dfrac{dv}{dt}=a. Como a é constante, podemos integrar essa equação para obter a velocidade.
Explicação didática curta sobre integração aqui: integrar \dfrac{dv}{dt}=a em relação a t significa somar (acumular) pequenas mudanças de velocidade ao longo do tempo; a integral de uma constante a é a t mais uma constante de integração que representa a velocidade inicial.
Escrevendo a integral em forma matemática:
\int \dfrac{dv}{dt}\,dt=\int a\,dt.
O lado esquerdo simplifica para v(t) (mais uma constante) e o direito é a t mais a constante de integração. Portanto
v(t)=a t + C_v.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial v(0)=0 para determinar C_v:
v(0)=a\cdot 0 + C_v = 0 \implies C_v=0.
Substituindo a=2 obtemos
v(t)=2t.
Isto é também a famosa fórmula para aceleração constante escrita como \,v(t)=v_0 + a t\,, onde v_0 é a velocidade inicial; aqui v_0=0, então v(t)=2t.

Passo 4

Agora usamos a relação entre velocidade e posição: a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo, v(t)=\dfrac{ds}{dt}. Para achar s(t) integramos v(t).
Explicação didática: integrar a velocidade no tempo soma os pequenos deslocamentos e dá a posição (ou deslocamento) acumulada. Se v(t) for uma função simples, integramos termo a termo e lembramos de adicionar uma constante de integração que será ajustada pela posição inicial.
Escrevendo a integral:
\int \dfrac{ds}{dt}\,dt=\int v(t)\,dt.
Substituindo v(t)=2t temos
s(t)=\int 2t\,dt = 2\cdot \frac{t^{2}}{2} + C_s = t^{2} + C_s.

Passo 5

Determinamos a constante C_s usando s(0)=0:
s(0)=0^{2}+C_s = 0 \implies C_s=0.
Logo
s(t)=t^{2}.
Outra forma rápida (fórmula conhecida) para movimento com aceleração constante é
s(t)=s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Substituindo s_0=0, v_0=0 e a=2 obtemos
s(t)=0+0+\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot t^{2}=t^{2},
o mesmo resultado.

Passo 6

Calculamos os valores pedidos substituindo t=8:
Para a velocidade:
v(8)=2\cdot 8=16\\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.
Para o espaço:
s(8)=8^{2}=64\\ \mathrm{m}.

Resposta

s(8)=64\\ \mathrm{m}
v(8)=16\\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

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