O movimento vertical da massa A é definido pela relação x=10 sen 2 t+15 cos 2 t+100, onde x e t são expressos em milímetros e segundos, respectivamente. Determine (a) a posição, a velocidade e a aceleração de A quando t=1 s,

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede. A massa A faz um movimento vertical descrito por

A matéria aqui é Cálculo Diferencial: vamos usar derivadas pra achar velocidade x(t)=10sen(2t)+15cos(2t)+100(mm), e aceleração . Pra isso, precisamos lembrar:
- ,
- .
Quando t = 1 s, queremos:
a) posição ,
b) velocidade ,
c) aceleração .

Passo 2

Calcular a posição x(t)=10sen(2t)+15cos(2t)+100, . Basta substituir x(1)&=10sen(2cdot1)+15cos(2cdot1)+100 &=10sen(2)+15cos(2)+100, em

Então:

Sabendo que e x(1)=10cdot0,9093+15cdot(-0,4161)+100 approx9,093-6,242+100 approx102,85 mm ,

Passo 3

Agora a velocidade dot x(t) &=10cdotddt[sen(2t)]+15cdotddt[cos(2t)]+0 &=10cdot(2cos(2t))+15cdot(-2sen(2t)) &=20cos(2t)-30sen(2t) . Derivamos cada termo:
Em v(1)=20cos(2)-30sen(2) =20cdot(-0,4161)-30cdot0,9093 approx-8,322-27,279 approx-35,60 mm/s :

Passo 4

Por fim, a aceleração ddot x(t) &=20cdotddt[cos(2t)]-30cdotddt[sen(2t)] &=20cdot(-2sen(2t))-30cdot(2cos(2t)) &=-40sen(2t)-60cos(2t) . Derivando :
Aí, em a(1)=-40sen(2)-60cos(2) =-40cdot0,9093-60cdot(-0,4161) approx-36,372+24,966 approx-11,41 mm/s^2 :

Resposta

Posição: mm
Velocidade: mm/s
Aceleração: mm/s²

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