Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =6\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente:
  • Equação diferencial: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 9y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e \dfrac{dy}{dx}(0)=6.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Para equações lineares de ordem constante homogêneas como \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+9y=0, um método padrão é procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número (possivelmente complexo). Essa é uma técnica muito usada em provas porque transforma a EDO num polinômio (a equação característica), que é simples de resolver.
  • Vou mostrar o passo de tentar y=e^{r x}, explicar de onde vem a equação característica e como tratar raízes complexas (porque elas aparecem aqui).

Passo 3

Aplicando a tentativa y(x)=e^{r x}:
  • Se y=e^{r x}, então \dfrac{dy}{dx}=r e^{r x} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{r x}.
  • Substituindo na EDO:
r^{2} e^{r x} + 9 e^{r x} = 0.
  • Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^{2}+9=0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2}+9=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-9 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 3i.
  • Aqui i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). As raízes são complexas conjugadas: r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=3.

Passo 5

Como interpretar raízes complexas (fórmula e explicação):
  • Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral real da EDO homogênea é
y(x)=C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x)+C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais.
  • No nosso caso \alpha=0 e \beta=3, portanto o fator exponencial e^{\alpha x}=e^{0}=1. Logo a solução geral fica
y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x).
  • Explicação intuitiva rápida: as soluções básicas são combinações de cosseno e seno com frequência 3, porque as raízes \pm 3i representam oscilações com pulsação 3.

Passo 6

Calcular a derivada necessária para aplicar as condições iniciais:
  • Derivando a solução geral:
\frac{dy}{dx} = -3C_{1}\sin(3x) + 3C_{2}\cos(3x).
  • Detalhe da derivação: usar regra da cadeia. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\cos(3x) = -\sin(3x)\cdot 3.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=1:
  • Avaliando y(x) em x=0:
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
  • Como y(0)=1, obtemos
C_{1}=1.

Passo 8

Aplicar a condição inicial \dfrac{dy}{dx}(0)=6:
  • Avaliando \dfrac{dy}{dx} em x=0:
\frac{dy}{dx}(0) = -3C_{1}\sin(0) + 3C_{2}\cos(0) = -3C_{1}\cdot 0 + 3C_{2}\cdot 1 = 3C_{2}.
  • Como \dfrac{dy}{dx}(0)=6, obtemos
3C_{2}=6 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.

Passo 9

Montar a solução particular substituindo as constantes:
  • Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=2 em y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x), temos
y(x)=\cos(3x)+2\sin(3x).

Resposta

y(x)=\cos(3x)+2\sin(3x)

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