Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 y & =0 \\\ y(0) & =1 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =6\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais. Especificamente:
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Qual método vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
Para equações lineares de ordem constante homogêneas como \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+9y=0, um método padrão é procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número (possivelmente complexo). Essa é uma técnica muito usada em provas porque transforma a EDO num polinômio (a equação característica), que é simples de resolver.
Vou mostrar o passo de tentar y=e^{r x}, explicar de onde vem a equação característica e como tratar raízes complexas (porque elas aparecem aqui).
Passo 3
Aplicando a tentativa y(x)=e^{r x}:
Se y=e^{r x}, então \dfrac{dy}{dx}=r e^{r x} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na EDO:
r^{2} e^{r x} + 9 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
No nosso caso \alpha=0 e \beta=3, portanto o fator exponencial e^{\alpha x}=e^{0}=1. Logo a solução geral fica
y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x).
Explicação intuitiva rápida: as soluções básicas são combinações de cosseno e seno com frequência 3, porque as raízes \pm 3i representam oscilações com pulsação 3.
Passo 6
Calcular a derivada necessária para aplicar as condições iniciais:
Derivando a solução geral:
\frac{dy}{dx} = -3C_{1}\sin(3x) + 3C_{2}\cos(3x).
Detalhe da derivação: usar regra da cadeia. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\cos(3x) = -\sin(3x)\cdot 3.