(2 pontos) Calcule a integral de linha
onde
é o caminho que percorre a curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo:
Onde $ C $ é a curva $ y = x \cdot \sin(x) $ que vai do ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ até $ (4\pi, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas funcionam em coordenadas cartesianas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que estamos integrando:
Essa forma é interessante porque se parece com a derivada do ângulo polar $ \theta $ em coordenadas polares. De fato, sabemos que:
Então, nossa integral de linha pode ser reescrita como:
Isso significa que estamos basicamente calculando a variação do ângulo $ \theta $ ao longo do caminho $ C $.
Passo 3
Agora, precisamos identificar os ângulos iniciais e finais nos pontos dados. Vamos calcular $ \theta $ em ambos os pontos.
Para o ponto inicial $ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $:
Para o ponto final $ (4\pi, 0) $:
Passo 4
Agora que temos os ângulos inicial e final, podemos calcular a variação do ângulo $ \Delta \theta $:
Resposta
A integral de linha vale $ -\frac{\pi}{4} $.