(2 pontos) Calcule a integral de linha integralC -y d x+x d yx^2+y^2 onde C é o caminho que percorre a curva y=x cdot sin (x) de (pi2, pi2) a (4 pi, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo:
integralC -y , dx + x , dyx^2 + y^2
Onde $ C $ é a curva $ y = x \cdot \sin(x) $ que vai do ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ até $ (4\pi, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como elas funcionam em coordenadas cartesianas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que estamos integrando:
-y , dx + x , dyx^2 + y^2
Essa forma é interessante porque se parece com a derivada do ângulo polar $ \theta $ em coordenadas polares. De fato, sabemos que:
theta
Então, nossa integral de linha pode ser reescrita como:
dtheta = -y , dx + x , dyx^2 + y^2
Isso significa que estamos basicamente calculando a variação do ângulo $ \theta $ ao longo do caminho $ C $.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os ângulos iniciais e finais nos pontos dados. Vamos calcular $ \theta $ em ambos os pontos.
Para o ponto inicial $ \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $:
theta
Para o ponto final $ (4\pi, 0) $:
(pi2, pi2)

Passo 4

Agora que temos os ângulos inicial e final, podemos calcular a variação do ângulo $ \Delta \theta $:
De

Resposta

A integral de linha vale $ -\frac{\pi}{4} $.

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