VII.17. Um aquecedor do tipo tanque agitado é usado para aquecer uma corrente de processo de modo que seus componentes pré-misturados alcancem uma composição uniforme. O controle de temperatura é importante porque a alta temperatura tende a decompor o produto, enquanto que a baixa temperatura resulta em mistura incompleta. O tanque é aquecido por vapor que se condensa dentro de uma serpentina. Um controlador proporcional-integral-derivativo CPIDD é usado para controlar a temperatura no tanque, manipulando a posição da haste da válvula. Deseja-se escrever o diagrama de blocos completo e a equação caracteristica do laço a partir dos seguintes dados de projeto:

Processo

A alimentação tem uma densidade \rho de 88,01 \mathrm{~b} / \mathrm{ft}^{3} e uma capacidade calorifica C_{p} de 0.80 Btu / b^{\circ} \mathrm{F}. O volume V de liquido no reator é mantido constante a 120 \mathrm{ft}^{9}. A serpentina consiste de 205 ft de tubo de aço de 4 polegadas escala 40 , pesando 10,8 \mathrm{lb} / \mathrm{ft} \mathrm{com} \mathrm{um} a capacidade calorifica de 0,12 \mathrm{Btu} / 1 \mathrm{~b}^{\circ} \mathrm{F} e um diametro externo de 4,5 polegadas. O coeficiente de transferencia de calor global U, baseado na área externa da serpentina, foi estimado como 2,1 \mathrm{Btu} / \mathrm{min} \mathrm{ft}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{F}. O vapor disponivel é saturado e está a uma pressão de 30 psia; pode-se supor que o seu calor latente de condensação \lambda é constante e vale 966 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb}.

Condiçöes de Projeto

O fluxo de alimentação F nas condições de projeto & 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} e sua temperatura T_{i} é 100^{\circ} \mathrm{F}. O conteudo do tanque deve ser mantido a uma temperatura T de 150^{\circ} \mathrm{F}. As perturbações possiveis sło mudanças na taxa de alimentação e na temperatura.

Sensor de temperatura e transmissor

O serisor de temperatura tem uma variação calibrada de 100 a 200^{\circ} \mathrm{F} e uma constante de tempo \tau_{m} de 0,75 \mathrm{~min}.

Valvula de controle

A válvula de controle foi projetada de modo a poder exceder 100 \% de sua capacidade nominal e variações de queda de pressão podem ser desprezadas. A válvula é uma válvula de igual percentagem com um parámetro de variação a de 50. O atuador tem uma constante de tempo \tau_{v} de 0,20 min.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as suposições que faço para deixar as unidades consistentes (não pergunto nada — apenas explico o que adotei).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Densidade do líquido: \rho=88{,}01\\ \mathrm{lb/ft^{3}}.
  • Calor específico do líquido: C_{p}=0{,}80\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)}.
  • Volume do tanque: V=120\\ \mathrm{ft^{3}}.
  • Serpentina: comprimento L=205\\ \mathrm{ft}; massa linear do tubo =10{,}8\\ \mathrm{lb/ft}; calor específico do aço C_{p,\text{aco}}=0{,}12\\ \mathrm{Btu/(lb\;^\circ F)}; diâmetro externo D_{o}=4{,}5\\ \text{polegadas}=0{,}375\\ \mathrm{ft}.
  • Coeficiente global de transferência de calor (baseado na área externa): U=2{,}1\\ \mathrm{Btu/(min\;ft^{2}\;^\circ F)}.
  • Vapor saturado a 30 psia; calor latente \lambda=966\\ \mathrm{Btu/lb} (assumido constante).
  • Condições de projeto:
    • Vazão volumétrica de alimentação: eu assumi F=15\\ \mathrm{ft^{3}/min} (adotei ft^3/min — o enunciado tinha “m^{3}/min” mas todas as demais unidades são imperiais; por consistência uso ft^3/min).
    • Temperatura da alimentação: T_{i}=100^\circ\mathrm{F}.
    • Temperatura do tanque (ponto de operação): T=150^\circ\mathrm{F}.
  • Sensor de temperatura: faixa calibrada 100 a 200^\circ\mathrm{F}; constante de tempo do sensor \tau_{m}=0{,}75\\ \mathrm{min} (modelo de 1ª ordem).
  • Válvula de controle: característica igual porcentagem com parâmetro \alpha=50 (mantemos a representação geral e linearizamos em ponto de operação); atuador com constante de tempo \tau_{v}=0{,}20\\ \mathrm{min}. A válvula pode exceder 100% de capacidade nominal (logo não é limitante no modelo linearizado).
  • Pedido do exercício: escrever o diagrama de blocos completo do laço (incluindo dinâmica do atuador, válvula, processo térmico e sensor) e obter a equação característica do laço (forma algébrica do denominador que determina estabilidade), com os parâmetros numéricos possíveis a partir dos dados.

Passo 2

Calcular a área externa da serpentina e o produto UA (explico como fazer uma conta passo a passo).
Área externa da serpentina (área lateral de um tubo longo):
  • Circunferência externa do tubo: \pi D_{o}.
  • Área total da superfície externa: A = L \cdot \pi D_{o}.
Calcule:
D_{o}=0{,}375\\ \mathrm{ft},\qquad L=205\\ \mathrm{ft}
A = 205\cdot\pi\cdot0{,}375 \approx 205\cdot1{,}1781 \approx 241{,}45\\ \mathrm{ft^{2}}.
Produto UA:
UA = U\cdot A = 2{,}1\cdot241{,}45 \approx 507{,}05\\ \mathrm{Btu/(min\;^\circ F)}.
Comentário didático rápido: UA é a “capacidade” da superfície de transferir calor por grau de diferença de temperatura; se UA for maior, para a mesma diferença de temperatura gera-se maior fluxo de calor.

Passo 3

Calcular as capacitâncias térmicas (capacidade térmica = massa × calor específico) do líquido e do tubo de aço (essas somadas dão a inércia térmica do sistema).
Massa do líquido no tanque:
m_{\ell}=\rho V =88{,}01\cdot120 =10\,561{,}2\\ \mathrm{lb}.
Capacidade térmica do líquido:
C_{\ell}=m_{\ell}C_{p}=10\,561{,}2\cdot0{,}80 =8\,448{,}96\\ \mathrm{Btu/^\circ F}.
Massa do tubo de aço (serpentina):
m_{\text{aco}} = L\cdot(\text{massa linear}) =205\cdot10{,}8 =2\,214\\ \mathrm{lb}.
Capacidade térmica do aço:
C_{\text{aco}} = m_{\text{aco}}\;C_{p,\text{aco}} =2\,214\cdot0{,}12 =265{,}68\\ \mathrm{Btu/^\circ F}.
Capacitância térmica total (do fluido + serpentina juntinhos, assumidos bem misturados para modelo de 1 tanque):
C_{th}=C_{\ell}+C_{\text{aco}} =8\,448{,}96 +265{,}68 =8\,714{,}64\\ \mathrm{Btu/^\circ F}.
Didática: C_{th} é a “inércia” térmica — quanto maior, mais lenta a resposta de temperatura a uma entrada de calor.

Passo 4

Calcular o termo de perda por renovação (efeito da alimentação) que aparece no balanço de energia e a constante de tempo do processo.
Taxa mássica de alimentação:
\dot m_{\text{in}} = \rho\;F =88{,}01\cdot15 =1\,320{,}15\\ \mathrm{lb/min}.
Termo \rho F C_{p} (unidade \mathrm{Btu/(min\;^\circ F)}):
\Gamma \equiv \rho F C_{p} = \dot m_{\text{in}} \,C_{p} =1\,320{,}15\cdot0{,}80 =1\,056{,}12\\ \mathrm{Btu/(min\;^\circ F)}.
Constante de tempo do tanque (quando a entrada de calor é modelada como força de entrada direta; explico isso no próximo passo):
\tau_{p} = \frac{C_{th}}{\Gamma} = \frac{8\,714{,}64}{1\,056{,}12}\approx 8{,}256\\ \mathrm{min}.
Interpretação: se houver uma perturbação de calor, a temperatura do tanque tende a se ajustar com uma constante de tempo de cerca de 8{,}26 minutos (aproximadamente 5–6 minutos para grande parte da resposta e ~4 constantes de tempo para quase estabelecimento).

Passo 5

Calcular a carga térmica de projeto (fluxo de calor necessário em regime permanente) e a vazão de vapor nominal.
Balanço de energia em regime permanente (sem armazenamento):
Q_{0} = \dot m_{\text{in}}\,C_{p}\,(T - T_{i}).
Substituindo:
Q_{0}=1\,320{,}15\cdot0{,}80\cdot(150-100)=1\,320{,}15\cdot0{,}80\cdot50.
Q_{0}=1\,320{,}15\cdot40=52\,806\\ \mathrm{Btu/min}.
Vazão mássica de vapor necessária:
\dot m_{s0}=\frac{Q_{0}}{\lambda}=\frac{52\,806}{966}\approx54{,}67\\ \mathrm{lb/min}.
Checagem rápida: usamos \lambda em \mathrm{Btu/lb}, então \dot m_{s0} vem em \mathrm{lb/min}. Faz sentido: pouco mais de 50 lb/min de vapor condensa para suprir a carga de aquecimento.

Passo 6

Derivar a função de transferência do processo (modelo linearizado) passo a passo — do fluxo de vapor (ou do calor) até a temperatura do tanque.
Escrevendo o balanço de energia dinâmica (modelo de tanque perfeitamente misturado, levando calor por condensação como entrada):
C_{th}\frac{dT(t)}{dt} = \dot m_{\text{in}} C_{p}\big(T_{i}-T(t)\big) + Q(t).
Aqui Q(t) é a potência térmica vinda da serpentina (Btu/min). Para controle, é conveniente usar a entrada manipulada como a vazão mássica de vapor \dot m_{s}(t). Se o vapor que entra condensa e libera calor \lambda por libra condensada, então
Q(t)=\lambda\;\dot m_{s}(t).
Linearizando em torno do ponto de operação e tomando variações (denotadas por letra minúscula), obtemos:
C_{th}\frac{d\Delta T(t)}{dt} = -\Gamma\,\Delta T(t) + \lambda\,\Delta\dot m_{s}(t),
onde \Gamma=\rho F C_{p} como calculado antes.
Aplicando transformada de Laplace (variáveis \Delta T(s), \Delta \dot m_{s}(s)):
C_{th}\,s\,\Delta T(s) = -\Gamma\,\Delta T(s) + \lambda\,\Delta\dot m_{s}(s).
Rearranjando:
\Delta T(s)\left(C_{th}\,s + \Gamma\right) = \lambda\,\Delta\dot m_{s}(s).
Logo a função de transferência do fluxo de vapor para a temperatura do tanque é:
G_{m}(s)\equiv\frac{\Delta T(s)}{\Delta\dot m_{s}(s)} = \frac{\lambda}{C_{th}\,s + \Gamma}.
Agora explico as constantes em forma canônica:
  • Ganho DC (em ^{\circ}\mathrm{F} por \mathrm{lb/min}):
K_{m} \equiv \frac{\lambda}{\Gamma} = \frac{966}{1\,056{,}12}\approx0{,}915\\ \frac{^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{lb/min}}.
  • Forma de primeira ordem:
G_{m}(s) = \frac{K_{m}}{\tau_{p}\,s + 1},\qquad\tau_{p}=\frac{C_{th}}{\Gamma}\approx8{,}256\\ \mathrm{min}.
Interpretação didática: um aumento em \dot m_{s} de 1\\ \mathrm{lb/min} aumenta, em regime permanente, a temperatura do tanque cerca de 0{,}915^\circ\mathrm{F}. A resposta temporal é de 1ª ordem com constante \tau_{p}.

Passo 7

Incluir a dinâmica da válvula/atuador e linearização estática da válvula (definir o ganho linearizado da válvula) e escrever a função de transferência completa do elemento manipulador até a temperatura.
O atuador da válvula é dado como 1ª ordem com constante de tempo \tau_{v}=0{,}20\\ \mathrm{min}. Denotando por u(t) o sinal de saída do controlador (sinal de posição da haste normalizado por unidade de escala) e por \dot m_{s}(t) a vazão real de vapor, a relação linearizada em torno do ponto de operação é:
\Delta\dot m_{s}(s) = G_{v}(s)\,\Delta u(s),\qquad G_{v}(s)=\frac{K_{v}}{\tau_{v}s+1},
onde K_{v} é o ganho estático linearizado da válvula (unidade \mathrm{lb/min} por unidade de variação de u). Explicando K_{v}: é a derivada da vazão de vapor em relação ao comando da válvula no ponto de operação,
K_{v}=\left.\frac{d\dot m_{s}}{du}\right|_{op}.
(Se a característica da válvula for igual porcentagem, K_{v} depende do ponto de operação; não é necessário um valor numérico adicional para escrever a equação característica — mantemos K_{v} simbólico. Se precisar, pode-se linearizar a lei de vazão específica em torno de u_{0} para obter K_{v}.)
Compondo G_{v}(s) com G_{m}(s), a função de transferência do comando do controlador u até a temperatura é:
G_{p}(s)\equiv\frac{\Delta T(s)}{\Delta u(s)} = G_{m}(s)\,G_{v}(s) = \frac{K_{v}\,K_{m}}{(\tau_{v}s+1)(\tau_{p}s+1)}.
Comentário prático: K_{v}K_{m} é o ganho DC do “processo total visto pelo controlador” (graus F por unidade de sinal de válvula).

Passo 8

Modelagem do sensor e do controlador e desenho verbal do diagrama de blocos (explico como montar o diagrama de blocos completo).
  • Sensor (transmissor) é 1ª ordem com \tau_{m}=0{,}75\\ \mathrm{min}:
H(s)=\frac{1}{\tau_{m}s+1}.
Isso significa que a medida y(t) (a saída do sensor) segue a temperatura real com atraso dinâmico de 1ª ordem.
  • Controlador CPIDD (controlador proporcional-integral-derivativo): mantenho G_{c}(s) genérico, normalmente escrito (forma paralela):
G_{c}(s) = K_{c}\left(1 + \frac{1}{\tau_{I}s} + \tau_{D}s\right),
ou, se preferir incluir filtro no derivativo,
G_{c}(s) = K_{c}\left(1 + \frac{1}{\tau_{I}s} + \frac{\tau_{D}s}{\frac{\tau_{D}}{N}s+1}\right),
onde K_{c} é ganho proporcional, \tau_{I} tempo integral, \tau_{D} tempo derivativo e N fator do filtro do derivativo. (No enunciado não vieram valores de sintonia — a equação característica será escrita de forma simbólica em K_c,\tau_I,\tau_D.)
Diagrama de blocos (descrição textual do diagrama completo):
  • Caminho direto (forward): G_{c}(s) → atuador (modelo de 1ª ordem \frac{1}{\tau_{v}s+1} multiplicado por K_{v}) → válvula (essa multiplicação é incorporada em K_{v}) → planta térmica \frac{K_{m}}{\tau_{p}s+1}.
  • Saída do processo (temperatura) passa pelo sensor H(s)=\frac{1}{\tau_{m}s+1} e é realimentada ao controlador em malha fechada (realimentação negativa).
  • Em símbolos do produto, o caminho direto total (do sinal de controle u até a medida y) é:
G_{\text{loop,forward}}(s)=G_{c}(s)\cdot\frac{K_{v}}{\tau_{v}s+1}\cdot\frac{K_{m}}{\tau_{p}s+1}.
O laço completo inclui multiplicação por H(s) na malha de realimentação.

Passo 9

Escrever a equação característica do laço (forma 1 + L(s) = 0) e substituir os valores numéricos obtidos.
Definindo a função de malha L(s) como produto do controlador, do processo e do sensor na realimentação, obtemos:
L(s) = G_{c}(s)\cdot\underbrace{\frac{K_{v}\,K_{m}}{(\tau_{v}s+1)(\tau_{p}s+1)}}_{\text{plant a partir de }u}\cdot\underbrace{\frac{1}{\tau_{m}s+1}}_{\text{sensor}}.
A equação característica do sistema em malha fechada é:
1 + L(s) = 0.
Substituindo K_{m}, \tau_{p}, \tau_{v}, \tau_{m} pelos valores numéricos que calculámos:
K_{m}\approx0{,}915\quad,\quad \tau_{p}\approx8{,}256\\ \mathrm{min}\quad,\quad \tau_{v}=0{,}20\\ \mathrm{min}\quad,\quad \tau_{m}=0{,}75\\ \mathrm{min}.
Portanto a forma explícita da equação característica é
1 + G_{c}(s)\;\frac{K_{v}\cdot0{,}915}{(0{,}20\,s+1)(8{,}256\,s+1)(0{,}75\,s+1)} = 0.
Se preferir escrever multiplicando denominadores:
(0{,}20\,s+1)(8{,}256\,s+1)(0{,}75\,s+1) + G_{c}(s)\;K_{v}\cdot0{,}915 = 0.
Ou expandindo simbolicamente (não expando os polinômios em números, para manter clareza do papel de G_c):
1 + \frac{K_{v}\,K_{m}}{(\tau_{v}s+1)(\tau_{p}s+1)(\tau_{m}s+1)}\,G_{c}(s)=0.
Observações didáticas:
  • K_{v} depende da linearização da característica igual porcentagem em torno do ponto de operação (ponto esse definido pelo \dot m_{s0} calculado no Passo 5). Para obter K_{v} numericamente seria preciso a equação exata da vazão em função do comando da válvula; aqui mantive K_{v} simbólico porque o enunciado não deu a expressão matemática explícita para a característica igual porcentagem, apenas o parâmetro \alpha.
  • Se for desejado um valor numérico de K_{v}, podemos aproximar assumindo que uma variação unitária em u (por exemplo 0→1 em % de abertura) corresponde a uma variação proporcional da vazão em torno de \dot m_{s0}; mas isto requer uma hipótese extra sobre a forma normalizada da curva (ex.: \dot m_{s}= \dot m_{s,\max}\,e^{\alpha(u-u_{0})} ou outra forma). A forma geral apresentada é a mais correta sem hipóteses adicionais.

Passo 10

Resumo prático final (o que usar na prova, passo a passo rápido):
  • Calcule C_{th} (somando fluid+serpentina) e \Gamma=\rho F C_{p}.
  • Determine \tau_{p}=C_{th}/\Gamma e K_{m}=\lambda/\Gamma.
  • Determine \dot m_{s0}=Q_{0}/\lambda com Q_{0}=\Gamma(T-T_{i}).
  • Modelo da válvula: atuar com \tau_{v} e ganho linearizado K_{v}.
  • Sensor: primeira ordem \tau_{m}.
  • Montar L(s)=G_{c}(s)\cdot\frac{K_{v}K_{m}}{(\tau_{v}s+1)(\tau_{p}s+1)(\tau_{m}s+1)} e equação característica 1+L(s)=0.

Resposta

Diagrama de blocos (descrição rápida):
Controlador G_{c}(s) → atuador/válvula \dfrac{K_{v}}{\tau_{v}s+1} → planta térmica \dfrac{K_{m}}{\tau_{p}s+1} → sensor \dfrac{1}{\tau_{m}s+1} em realimentação negativa.
Parâmetros numéricos calculados:
C_{th}=8\,714{,}64\\ \mathrm{Btu/^\circ F},
\Gamma=\rho F C_{p}=1\,056{,}12\\ \mathrm{Btu/(min\;^\circ F)},
\tau_{p}=\dfrac{C_{th}}{\Gamma}\approx8{,}256\\ \mathrm{min},
K_{m}=\dfrac{\lambda}{\Gamma}\approx0{,}915\\ \dfrac{^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{lb/min}},
Q_{0}=52\,806\\ \mathrm{Btu/min},
\dot m_{s0}\approx54{,}67\\ \mathrm{lb/min},
\tau_{v}=0{,}20\\ \mathrm{min},
\tau_{m}=0{,}75\\ \mathrm{min}.
Equação característica do laço (forma geral):
1 + G_{c}(s)\;\frac{K_{v}\,K_{m}}{(\tau_{v}s+1)(\tau_{p}s+1)(\tau_{m}s+1)} = 0.
Equação característica com os valores numéricos inseridos (mantendo G_{c}(s) e K_{v} simbólicos):
1 + G_{c}(s)\;\frac{K_{v}\cdot0{,}915}{(0{,}20\,s+1)(8{,}256\,s+1)(0{,}75\,s+1)} = 0.

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