Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.
Passo 1
O enunciado pede para trocar uma integral dupla em coordenadas cartesianas pela equivalente em coordenadas polares e depois calcular o valor dessa integral. O conteúdo principal aqui é integração em coordenadas polares, usando o Jacobiano para passar de ,dx,dy para ,r,dr,dθ. Vamos precisar reconhecer a região de integração e aplicar a mudança de variáveis polar.
Passo 2
A região dada por x variando de -1 a 1 e y de -√(1−x²) a √(1−x²) é exatamente o disco unitário D definido por x²+y²≤1. Em coordenadas polares temos x=r cosθ, y=r sinθ, e a condição x²+y²≤1 vira 0≤r≤1. Como o disco inteiro é percorrido, θ varia de 0 a 2π.
Passo 3
Ao mudar para coordenadas polares, lembramos que dA=dx,dy passa a ser r,dr,dθ. Assim a integral fica:
Passo 4
Agora é só calcular: primeiro a integral em r
e depois em θ