Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar.
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para trocar uma integral dupla em coordenadas cartesianas pela equivalente em coordenadas polares e depois calcular o valor dessa integral. O conteúdo principal aqui é integração em coordenadas polares, usando o Jacobiano para passar de ,dx,dy para ,r,dr,dθ. Vamos precisar reconhecer a região de integração e aplicar a mudança de variáveis polar.

Passo 2

A região dada por x variando de -1 a 1 e y de -√(1−x²) a √(1−x²) é exatamente o disco unitário D definido por x²+y²≤1. Em coordenadas polares temos x=r cosθ, y=r sinθ, e a condição x²+y²≤1 vira 0≤r≤1. Como o disco inteiro é percorrido, θ varia de 0 a 2π.

Passo 3

Ao mudar para coordenadas polares, lembramos que dA=dx,dy passa a ser r,dr,dθ. Assim a integral fica:
integral duplaD dA = integralθ=0^2pi integralr=0^1 r,dr,dθ

Passo 4

Agora é só calcular: primeiro a integral em r
integral0^1 r,dr = l[r^22r]0^1 = 12
e depois em θ
integral0^2pi 12 ,dθ = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

pi

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