Muitas das aplicações mais importantes dos capacitores dependem de sua capacidade de armazenar energia. Mostre que a energia potencial acumulada em um capacitor é:
U=\frac{1}{2} Q V

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a energia potencial acumulada num capacitor carregado com carga Q e diferença de potencial V é
U = \tfrac12\,Q\,V.
O conteúdo envolvido é trabalho e energia em eletrostática, usando a relação entre carga, tensão e capacitância:
C = \frac{Q}{V}.

Passo 2

Para carregar o capacitor de zero até a carga Q, imaginemos que, num dado instante, ele já possui carga q. Nesse instante a tensão é
V(q)=\frac{q}{C}.
Para trazer um pequeno incremento de carga \mathrm{d}q até a placa, precisamos fazer trabalho
\mathrm{d}W = V(q)\,\mathrm{d}q = \frac{q}{C}\,\mathrm{d}q.

Passo 3

A energia total armazenada é o trabalho acumulado ao levar q de 0 até Q. Integramos:
U = \int_{0}^{Q} \mathrm{d}W = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C}\,\mathrm{d}q = \frac{1}{C}\,\int_{0}^{Q} q\,\mathrm{d}q = \frac{1}{C}\,\biggl[\frac{q^{2}}{2}\biggr]_{0}^{Q} = \frac{Q^{2}}{2\,C}.

Passo 4

Usando V = Q/C, obtemos
U = \frac{Q^{2}}{2\,C} = \frac{Q}{2}\,\biggl(\frac{Q}{C}\biggr) = \frac{1}{2}\,Q\,V.

Resposta

U = \frac{1}{2}\,Q\,V.

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