É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial de como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor está ou não em ).
Faça isto para cada subespaço vetorial abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em variáveis cujo conjunto solução seja igual a :
(c) dado por , onde .
Passo 1
O enunciado dá o subespaço , onde
Queremos um sistema homogêneo em cujo conjunto solução seja exatamente . Para isso, basta encontrar uma base de e usar esses vetores como linhas de .
Passo 2
Um vetor pertence a se e só se
Isso gera o sistema
Passo 3
Fazendo eliminação:
da segunda linha subtraímos 2times a primeira, e da primeira subtraímos a terceira, obtemos
4b+5c+2d+11e=0,
b+c+d+3e=0
Da segunda vem b=-c-d-3e. Substituindo em 4b+5c+2d+11e=0 dá c=2d+e. Finalmente, voltando à primeira equação,
a=-6b-2c+2d-3e=16d+19e
Passo 4
Escolhendo parâmetros d=1,e=0 e d=0,e=1, obtemos uma base de W3^perp: