É muitas vezes útil saber expressar um subespaço vetorial W de R^n como o conjunto solução de algum sistema linear homogêneo em n variáveis (isto permite, por exemplo, decidir de maneira rápida se um dado vetor v in R^n está ou não em W ).
Faça isto para cada subespaço vetorial W subset R^n abaixo, isto é, encontre um sistema linear homogêneo em n variáveis cujo conjunto solução seja igual a W :
(c) W3 subset R^5 dado por W3=>=r[v1, v2, v3], onde v1=(1,6,2,-2,3), v2= (2,8,-1,-6,-5), v3=(1,3,-1,-5,-6).

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
W3=>=rv1,v2,v3subsetR^5, onde
v1=(1,6,2,-2,3), v2=(2,8,-1,-6,-5), v3=(1,3,-1,-5,-6)
Queremos um sistema homogêneo A x=0 em R^5 cujo conjunto solução seja exatamente W3. Para isso, basta encontrar uma base de W3^perp e usar esses vetores como linhas de A.

Passo 2

Um vetor w=(a,b,c,d,e) pertence a W3^perp se e só se
v1cdot w=0, v2cdot w=0, v3cdot w=0
Isso gera o sistema
a+6b+2c-2d+3e=0, 2a+8b -c -6d-5e=0, a+3b -c -5d-6e=0

Passo 3

Fazendo eliminação:
da segunda linha subtraímos 2times a primeira, e da primeira subtraímos a terceira, obtemos
4b+5c+2d+11e=0,
b+c+d+3e=0
Da segunda vem b=-c-d-3e. Substituindo em 4b+5c+2d+11e=0 c=2d+e. Finalmente, voltando à primeira equação,
a=-6b-2c+2d-3e=16d+19e

Passo 4

Escolhendo parâmetros d=1,e=0 e d=0,e=1, obtemos uma base de W3^perp:
w1=(16,-3,2,1,0), w2=(19,-4,1,0,1)
Logo o sistema homogêneo procurado é dado por
w1cdot x=0, w2cdot x=0

Resposta

16x1-3x2+2x3+x4=0, 19x1-4x2+x3+x5=0

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