1. (2.5 pontos)
Um capacitor de placas planas e paralelas (área A e separação d ) é carregado até atingir uma diferença de potencial V e uma carga q. Uma placa dielétrica, de constante \kappa e espessura b, é introduzida entre as placas do capacitor, conforme a figura. Encontre:
(b) ( 0.5 pontos) O campo elétrico dentro da placa dielétrica.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: encontrar o campo elétrico dentro da placa dielétrica (item (b)). As informações dadas pelo problema (peguei estes dados da figura e do enunciado) são:
  • Área das placas: A.
  • Separação entre as placas: d.
  • Capacitor carregado com carga total na placa: q (logo a densidade de carga livre na superfície da placa é \sigma_{\text{livre}}=\dfrac{q}{A}).
  • Diferença de potencial inicial: V (informação dada, não necessária diretamente para (b)).
  • Há uma placa (slab) dielétrica inserida entre as placas, de constante dielétrica \kappa e espessura b.
A pergunta que vamos responder: qual é o valor do campo elétrico dentro da placa dielétrica (módulo e direção se necessário)?

Passo 2

Ideia física e ferramenta que vou usar (sem resolver ainda): em eletrostática, para superfícies planas paralelas com distribuição uniforme de carga livre, é muito conveniente usar o campo de deslocamento elétrico \mathbf{D} e a lei de Gauss para \mathbf{D}. A lei de Gauss para \mathbf{D} diz que a integral de \mathbf{D} sobre uma superfície fechada é igual à carga livre total envolvida por essa superfície. Escrevendo a forma local útil para placas planas:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre,enc}}.
Para o nosso caso de placas grandes e paralelas, isso leva à relação simples entre o componente normal de \mathbf{D} e a densidade de carga livre na placa:
D_n=\sigma_{\text{livre}}.
Aqui \sigma_{\text{livre}} é a densidade de carga livre na superfície do condutor, que vale \sigma_{\text{livre}}=\dfrac{q}{A}.

Passo 3

Definição da relação entre \mathbf{D} e \mathbf{E} no dielétrico: para um dielétrico linear e homogêneo vale a relação
\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E},
onde \varepsilon é a permissividade do material. Para um dielétrico de constante \kappa temos
\varepsilon=\kappa \varepsilon_0,
sendo \varepsilon_0 a permissividade do vácuo. Explicando as variáveis:
  • \mathbf{D} é o vetor deslocamento elétrico (em \mathrm{C/m^2}).
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (em \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}).
  • \kappa é a constante dielétrica adimensional do material.
  • \varepsilon_0 é a constante conhecida do vácuo.

Passo 4

Aplicando as relações ao nosso caso plano: como o problema tem simetria de placas planas e as únicas cargas livres relevantes são as cargas nas placas, o componente normal de \mathbf{D} dentro do dielétrico é igual à densidade de carga livre:
D = \sigma_{\text{livre}}=\frac{q}{A}.
Agora uso \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} no interior do dielétrico, isto é \,D=\kappa\varepsilon_0 E_{\text{diel}}\,. Isolando E_{\text{diel}} obtenho:
E_{\text{diel}}=\frac{D}{\kappa\varepsilon_0}=\frac{\sigma_{\text{livre}}}{\kappa\varepsilon_0}=\frac{q}{\kappa\varepsilon_0 A}.

Passo 5

Interpretação e comparação rápida (dica de prova): o campo dentro do dielétrico é reduzido em relação ao campo que haveria no vazio por um fator \kappa. Se não houvesse dielétrico o campo entre as placas seria
E_{\text{vácuo}}=\frac{q}{\varepsilon_0 A},á
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E_{\text{diel}}=\frac{1}{\kappa}E_{\text{vácuo}}.á
No examinho: escolha uma superfície gaussiana pequena atravessando o dielétrico normal às placas; a componente normal de \mathbf{D} é a mesma que a densidade de carga livre da placa, e então use \mathbf{D}=\kappa\varepsilon_0\mathbf{E} para obter E.

Passo 6

Resumo prático para anotar na prova: a resposta pode ser apresentada como uma única fórmula limpa (com indicação da direção, apontando do placa positiva para a negativa). Isso é tudo que pedem para (b). Boa! Respirar fundo: a ideia central que precisa ser memorizada é que \mathbf{D} é fixado pela carga livre nas placas e que em dielétricos lineares \mathbf{E}=\mathbf{D}/(\kappa\varepsilon_0).

Resposta

E_{\text{diel}}=\frac{q}{\kappa\varepsilon_0 A}.

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