- (2.5 pontos)
Um capacitor de placas planas e paralelas (área
e separação
) é carregado até atingir uma diferença de potencial
e uma carga
. Uma placa dielétrica, de constante
e espessura
, é introduzida entre as placas do capacitor, conforme a figura. Encontre:
(b) ( 0.5 pontos) O campo elétrico dentro da placa dielétrica.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: encontrar o campo elétrico dentro da placa dielétrica (item (b)). As informações dadas pelo problema (peguei estes dados da figura e do enunciado) são:
- Área das placas:
. - Separação entre as placas:
. - Capacitor carregado com carga total na placa:
(logo a densidade de carga livre na superfície da placa é ). - Diferença de potencial inicial:
(informação dada, não necessária diretamente para (b)). - Há uma placa (slab) dielétrica inserida entre as placas, de constante dielétrica
e espessura .
A pergunta que vamos responder: qual é o valor do campo elétrico dentro da placa dielétrica (módulo e direção se necessário)?
Passo 2
Ideia física e ferramenta que vou usar (sem resolver ainda): em eletrostática, para superfícies planas paralelas com distribuição uniforme de carga livre, é muito conveniente usar o campo de deslocamento elétrico
e a lei de Gauss para
. A lei de Gauss para
diz que a integral de
sobre uma superfície fechada é igual à carga livre total envolvida por essa superfície. Escrevendo a forma local útil para placas planas:
Para o nosso caso de placas grandes e paralelas, isso leva à relação simples entre o componente normal de
e a densidade de carga livre na placa:
Aqui
é a densidade de carga livre na superfície do condutor, que vale
.
Passo 3
Definição da relação entre
e
no dielétrico: para um dielétrico linear e homogêneo vale a relação
onde
é a permissividade do material. Para um dielétrico de constante
temos
sendo
a permissividade do vácuo. Explicando as variáveis:
-
é o vetor deslocamento elétrico (em ). -
é o campo elétrico (em ou ). -
é a constante dielétrica adimensional do material. -
é a constante conhecida do vácuo.
Passo 4
Aplicando as relações ao nosso caso plano: como o problema tem simetria de placas planas e as únicas cargas livres relevantes são as cargas nas placas, o componente normal de
dentro do dielétrico é igual à densidade de carga livre:
Agora uso
no interior do dielétrico, isto é
. Isolando
obtenho:
Passo 5
Interpretação e comparação rápida (dica de prova): o campo dentro do dielétrico é reduzido em relação ao campo que haveria no vazio por um fator
. Se não houvesse dielétrico o campo entre as placas seria
logo
No examinho: escolha uma superfície gaussiana pequena atravessando o dielétrico normal às placas; a componente normal de
é a mesma que a densidade de carga livre da placa, e então use
para obter
.
Passo 6
Resumo prático para anotar na prova: a resposta pode ser apresentada como uma única fórmula limpa (com indicação da direção, apontando do placa positiva para a negativa). Isso é tudo que pedem para (b). Boa! Respirar fundo: a ideia central que precisa ser memorizada é que
é fixado pela carga livre nas placas e que em dielétricos lineares
.