Uma mulher de 1,6 \mathrm{~m} de altura está à beira de uma piscina vendo seu filho, que também olha para ela, a 1,2 \mathrm{~m} de profundidade. Suponha que a superfície da água esteja em repouso e ambos estejam aproximadamente na mesma vertical. Sabendo que o índice de refração da água é n_{\text {água }}=1,3á e do ar, n_{a r}=1,0, determine:
a profundidade em que a mãe vê o filho;

Passo 1

Dados do enunciado (o que nos foi dado e o que precisa ser calculado):
  • A altura da mãe é \,1,6\\ \mathrm{m}.
  • O filho está a uma profundidade real (abaixo da superfície da água) de \,1,2\\ \mathrm{m}.
  • O índice de refração da água é \,n_{\text{água}}=1,3á.
  • O índice de refração do ar é \,n_{\text{ar}}=1,0.
  • Foi dito que ambos estão aproximadamente na mesma vertical (ou seja, o observador olha quase ao longo da normal à superfície).
  • Pergunta: determinar a profundidade aparente em que a mãe vê o filho (isto é, a profundidade abaixo da superfície onde ela pensa que o filho está).

Passo 2

Conceito físico necessário (explicado de modo simples):
  • Quando um raio de luz passa de um meio para outro (aqui: da água para o ar) sua direção muda — isso chama-se refração.
  • A lei que governa essa mudança é a lei de Snell, que diz:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
onde:
  • n_1 é o índice de refração do meio onde o raio está antes de cruzar a superfície (aqui, água),
  • n_2 é o índice do meio para o qual o raio vai (aqui, ar),
  • \theta_1 é o ângulo que o raio dentro da água faz com a normal à superfície,
  • \theta_2 é o ângulo que o raio no ar faz com a normal.
  • Geometricamente, um ponto submerso a profundidade real h emite um raio que atinge a superfície a uma distância horizontal x do ponto vertical; esse mesmo raio refratado no ar parece proveniente de um ponto mais raso a profundidade aparente h'. Da geometria do triângulo:
x = h\tan\theta_1 \quad\text{e}\quad x = h'\tan\theta_2.
Igualando x obtemos
h\tan\theta_1 = h'\tan\theta_2 \quad\Rightarrow\quad h' = h\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}.

Passo 3

Conexão entre a lei de Snell e a profundidade aparente (aproximação adequada ao enunciado):
  • Usando Snell, temos \sin\theta_1 = \dfrac{n_2}{n_1}\sin\theta_2.
  • Se o observador e o objeto estão praticamente na mesma vertical, os ângulos são pequenos (paraxial), então podemos aproximar \tan\theta \approx \sin\theta. Essa aproximação é válida quando \theta é pequeno — exatamente a situação indicada por “aproximadamente na mesma vertical”.
  • Substituindo a aproximação em h' = h\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} e usando Snell:
h' \approx h\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = h\frac{n_2}{n_1}.
  • Portanto, para observador no ar olhando para um objeto na água com pequena inclinação,
\boxed{h' \approx h\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}}.á
Isto é a fórmula prática de “profundidade aparente” que vamos usar.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso numérico:
  • Aqui h = 1,2\\ \mathrm{m}, n_{\text{ar}}=1,0 e n_{\text{água}}=1,3á.
  • Substituindo:
h' \approx 1,2\cdot\frac{1,0}{1,3}.

Passo 5

Cálculo final (passo a passo, sem pular contas):
  • Primeiro calcule a fração:
\frac{1,0}{1,3} = \frac{10}{13} = 0{,}769230\ldots
  • Multiplicando por 1,2:
h' = 1,2\cdot\frac{1,0}{1,3} = \frac{12}{13}\\ \mathrm{m}.
  • Em forma decimal:
\frac{12}{13}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}9230769\\ \mathrm{m}.

Resposta

\dfrac{12}{13}\\ \mathrm{m}

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