Uma mulher de
de altura está à beira de uma piscina vendo seu filho, que também olha para ela, a
de profundidade. Suponha que a superfície da água esteja em repouso e ambos estejam aproximadamente na mesma vertical. Sabendo que o índice de refração da água é
e do ar,
, determine:
a profundidade em que a mãe vê o filho;
a profundidade em que a mãe vê o filho;
Passo 1
Dados do enunciado (o que nos foi dado e o que precisa ser calculado):
- A altura da mãe é
. - O filho está a uma profundidade real (abaixo da superfície da água) de
. - O índice de refração da água é
. - O índice de refração do ar é
. - Foi dito que ambos estão aproximadamente na mesma vertical (ou seja, o observador olha quase ao longo da normal à superfície).
- Pergunta: determinar a profundidade aparente em que a mãe vê o filho (isto é, a profundidade abaixo da superfície onde ela pensa que o filho está).
Passo 2
Conceito físico necessário (explicado de modo simples):
- Quando um raio de luz passa de um meio para outro (aqui: da água para o ar) sua direção muda — isso chama-se refração.
- A lei que governa essa mudança é a lei de Snell, que diz:
onde:
-
é o índice de refração do meio onde o raio está antes de cruzar a superfície (aqui, água), -
é o índice do meio para o qual o raio vai (aqui, ar), -
é o ângulo que o raio dentro da água faz com a normal à superfície, -
é o ângulo que o raio no ar faz com a normal. - Geometricamente, um ponto submerso a profundidade real
emite um raio que atinge a superfície a uma distância horizontal do ponto vertical; esse mesmo raio refratado no ar parece proveniente de um ponto mais raso a profundidade aparente . Da geometria do triângulo:
Igualando
obtemos
Passo 3
Conexão entre a lei de Snell e a profundidade aparente (aproximação adequada ao enunciado):
- Usando Snell, temos
. - Se o observador e o objeto estão praticamente na mesma vertical, os ângulos são pequenos (paraxial), então podemos aproximar
. Essa aproximação é válida quando é pequeno — exatamente a situação indicada por “aproximadamente na mesma vertical”. - Substituindo a aproximação em
e usando Snell:
- Portanto, para observador no ar olhando para um objeto na água com pequena inclinação,
Isto é a fórmula prática de “profundidade aparente” que vamos usar.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso numérico:
- Aqui
, e . - Substituindo:
Passo 5
Cálculo final (passo a passo, sem pular contas):
- Primeiro calcule a fração:
- Multiplicando por
:
- Em forma decimal: