Um raio de luz monocromática passa do ar para um diamante, atravessando uma face plana. O índice de refração do ar é n_{a r}=1,00 e o índice de refração do diamante é n_{d}=2,42. Calcule:
o ângulo de incidência no ar quando o ângulo de refração no diamante for 24,0^{\circ}\left(\operatorname{sen} 24,0^{\circ}=0,407\right).

Passo 1

O enunciado diz que um raio monocromático vai do ar para um diamante através de uma face plana. As informações fornecidas são:
n_{ar}=1,00,\qquad n_{d}=2,42,
o ângulo de refração no diamante é \theta_{d}=24,0^\circ e foi dada a sua função seno:
\sin 24,0^\circ = 0,407.
A pergunta é: qual é o ângulo de incidência no ar, ou seja, \theta_{ar} (medido em relação à normal)?

Passo 2

Para relacionar os ângulos e os índices de refração usamos a lei de Snell, que diz:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
Aqui:
  • n_1 é o índice do meio de onde o raio parte (ar), ou seja n_{ar}.
  • \theta_1 é o ângulo de incidência no ar, que chamaremos de \theta_{ar}.
  • n_2 é o índice do segundo meio (diamante), n_{d}.
  • \theta_2 é o ângulo no diamante, que é \theta_{d}.
Queremos \theta_{ar}. Isolamos \sin\theta_{ar} na lei de Snell:
\sin\theta_{ar}=\frac{n_{d}}{n_{ar}}\sin\theta_{d}.
Explicando em miúdos: multiplicamos o seno do ângulo no diamante pelo quociente dos índices para obter o seno do ângulo no ar. Depois aplicamos a função inversa seno ( \arcsin) para achar o ângulo.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos o produto:
\sin\theta_{ar}=\frac{2,42}{1,00}\times 0,407.
Fazendo a multiplicação em etapas:
2,42\times 0,400 = 0,968,
2,42\times 0,007 = 0,01694,
2,42\times 0,407 = 0,968 + 0,01694 = 0,98494.
Portanto
\sin\theta_{ar}=0,98494\\ (\approx 0,985).

Passo 4

Antes de aplicar \arcsin, verificamos se o valor está no domínio válido de \sin, isto é entre -1 e 1. Aqui 0,98494<1, então há solução real e não ocorre reflexão total.
Agora calculamos o ângulo:
\theta_{ar}=\arcsin(0,98494).
Usando valores conhecidos de seno: \sin 80^\circ \approx 0,9848 e \sin 80{,}1^\circ \approx 0,9850. Como 0,98494 está muito próximo de 0,9848, concluímos que
\theta_{ar}\approx 80{,}1^\circ.

Passo 5

Resumo do raciocínio: aplicamos a lei de Snell, calculamos \sin\theta_{ar}=2,42\cdot 0,407=0,98494 e então usamos \arcsin para obter o ângulo de incidência no ar, cerca de 80{,}1^\circ. Força aí — ângulos grandes assim significam que o raio chega bem rasante à superfície!

Resposta

80{,}1^\circ

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