Uma mulher de
de altura está à beira de uma piscina vendo seu filho, que também olha para ela, a
de profundidade. Suponha que a superfície da água esteja em repouso e ambos estejam aproximadamente na mesma vertical. Sabendo que o índice de refração da água é
e do ar,
, determine:
a altura aparente da mãe para o filho.
a altura aparente da mãe para o filho.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
- Dados:
- altura da mãe:
. - profundidade do filho abaixo da superfície:
. (Essa informação confirma que ele está dentro d’água.) - índice de refração da água:
. - índice de refração do ar:
. - ambos estão aproximadamente na mesma vertical (ou seja, o filho está praticamente embaixo da mãe).
- altura da mãe:
- O que se pede:
- determinar a altura aparente da mãe para o filho (isto é, qual altura o filho percebe que a mãe tem devido à refração na superfície da água).
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar e de forma prática): quando a luz passa do ar para a água ela muda de direção segundo a Lei de Snell. A Lei de Snell é
onde:
-
é o ângulo que o raio faz com a normal ao atravessar a superfície, do lado do ar; -
é o ângulo correspondente do lado da água; -
e são os índices de refração dos dois meios.
Vou usar essa lei para relacionar a posição real da parte superior da mãe com a posição aparente vista pelo filho.
Passo 3
Aproximação para facilitar e que é válida aqui: como eles estão aproximadamente na mesma vertical, os raios relevantes chegam com pequenos ângulos em relação à normal. Para pequenos ângulos podemos aproximar
. Essa aproximação (paraxial) nos permite trabalhar com razões geométricas simples.
Passo 4
Montamos a geometria (pense num corte vertical). Seja
a altura real do ponto superior da mãe acima da superfície da água (no nosso caso
). Seja
a altura aparente desse ponto, medida acima da superfície, que o filho vê quando extrapola os raios refratados como se viessem em linha reta. Pegue um raio que atravessa a superfície num ponto distante
do eixo vertical. Geometricamente,
Usando a aproximação
e a Lei de Snell,
Substituindo as expressões em termos de
e cancelando
obtemos
Isolando
vem a fórmula geral para este caso:
Interpretação física rápida: para um observador dentro da água, objetos no ar (como a mãe) aparecem deslocados verticalmente segundo essa razão.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao topo da mãe:
,
,
. Então
Passo 6
Calcule a multiplicação (passo a passo):
Portanto o topo da mãe (a cabeça) aparece ao filho a
acima da superfície. Os pés da mãe, estando à beira (na superfície), têm altura real
acima da superfície e portanto a sua posição aparente é
. Então a altura aparente total da mãe, para o filho, é simplesmente
.
Passo 7
Comentário final e encorajamento: o efeito aqui é que, visto debaixo d’água, a mãe parece mais alta do que realmente é — por causa da refração. Você já fez o passo chave: escrever Snell, aproximar sen≈tan para pequenas inclinações, relacionar geometricamente e calcular. Mandou bem por acompanhar até aqui!