Uma mulher de 1,6 \mathrm{~m} de altura está à beira de uma piscina vendo seu filho, que também olha para ela, a 1,2 \mathrm{~m} de profundidade. Suponha que a superfície da água esteja em repouso e ambos estejam aproximadamente na mesma vertical. Sabendo que o índice de refração da água é n_{\text {água }}=1,3á e do ar, n_{a r}=1,0, determine:
a altura aparente da mãe para o filho.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
  • Dados:
    • altura da mãe: \;1,6\\ \mathrm{m}.
    • profundidade do filho abaixo da superfície: \;1,2\\ \mathrm{m}. (Essa informação confirma que ele está dentro d’água.)
    • índice de refração da água: \;n_{\text{água}}=1,3á.
    • índice de refração do ar: \;n_{\text{ar}}=1,0.
    • ambos estão aproximadamente na mesma vertical (ou seja, o filho está praticamente embaixo da mãe).
  • O que se pede:
    • determinar a altura aparente da mãe para o filho (isto é, qual altura o filho percebe que a mãe tem devido à refração na superfície da água).

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar e de forma prática): quando a luz passa do ar para a água ela muda de direção segundo a Lei de Snell. A Lei de Snell é
n_{\text{ar}}\sin\theta_1 = n_{\text{água}}\sin\theta_2,á
onde:
  • \theta_1 é o ângulo que o raio faz com a normal ao atravessar a superfície, do lado do ar;
  • \theta_2 é o ângulo correspondente do lado da água;
  • n_{\text{ar}} e n_{\text{água}}á são os índices de refração dos dois meios.
Vou usar essa lei para relacionar a posição real da parte superior da mãe com a posição aparente vista pelo filho.

Passo 3

Aproximação para facilitar e que é válida aqui: como eles estão aproximadamente na mesma vertical, os raios relevantes chegam com pequenos ângulos em relação à normal. Para pequenos ângulos podemos aproximar \sin\theta\approx\tan\theta. Essa aproximação (paraxial) nos permite trabalhar com razões geométricas simples.

Passo 4

Montamos a geometria (pense num corte vertical). Seja \;H a altura real do ponto superior da mãe acima da superfície da água (no nosso caso \;H=1,6\\ \mathrm{m}). Seja \;H' a altura aparente desse ponto, medida acima da superfície, que o filho vê quando extrapola os raios refratados como se viessem em linha reta. Pegue um raio que atravessa a superfície num ponto distante x do eixo vertical. Geometricamente,
\tan\theta_1=\frac{x}{H}\quad\text{e}\quad \tan\theta_2=\frac{x}{H'}.
Usando a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta e a Lei de Snell,
n_{\text{ar}}\tan\theta_1 = n_{\text{água}}\tan\theta_2.á
Substituindo as expressões em termos de x,H,H' e cancelando x obtemos
n_{\text{ar}}\frac{1}{H} = n_{\text{água}}\frac{1}{H'}.á
Isolando H' vem a fórmula geral para este caso:
H'=\frac{n_{\text{água}}}{n_{\text{ar}}}\,H.á
Interpretação física rápida: para um observador dentro da água, objetos no ar (como a mãe) aparecem deslocados verticalmente segundo essa razão.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao topo da mãe: H=1,6\\ \mathrm{m}, n_{\text{água}}=1,3á, n_{\text{ar}}=1,0. Então
H'=\frac{1,3}{1,0}\times 1,6\\ \mathrm{m}=1{,}3\times1{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcule a multiplicação (passo a passo):
1{,}3\times 1{,}6 = 2{,}08.
Portanto o topo da mãe (a cabeça) aparece ao filho a \;2{,}08\\ \mathrm{m} acima da superfície. Os pés da mãe, estando à beira (na superfície), têm altura real 0 acima da superfície e portanto a sua posição aparente é 0. Então a altura aparente total da mãe, para o filho, é simplesmente 2{,}08\\ \mathrm{m}-0 = 2{,}08\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Comentário final e encorajamento: o efeito aqui é que, visto debaixo d’água, a mãe parece mais alta do que realmente é — por causa da refração. Você já fez o passo chave: escrever Snell, aproximar sen≈tan para pequenas inclinações, relacionar geometricamente e calcular. Mandou bem por acompanhar até aqui!

Resposta

2{,}08\\ \mathrm{m}

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