Um raio de luz monocromática passa do ar para um diamante, atravessando uma face plana. O índice de refração do ar é n_{a r}=1,00 e o índice de refração do diamante é n_{d}=2,42. Calcule:
o ângulo de refração no diamante quando o ângulo de incidência no ar for 37,0^{\circ};

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o ângulo de refração no diamante quando um raio monocromático parte do ar e incide sobre a superfície plana do diamante com ângulo de incidência \theta_i = 37,0^\circ. Dados fornecidos:
n_{ar} = 1,00,\qquad n_{d} = 2,42,\qquad \theta_i = 37,0^\circ.
O que se quer: o ângulo de refração dentro do diamante (vou chamar de \theta_r).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • O índice de refração n de um meio é a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz naquele meio; valores maiores significam meio mais “denso” opticamente.
  • Quando um raio passa de um meio para outro através de uma face plana, os ângulos de incidência e refração (medidos em relação à normal à superfície) obedecem à Lei de Snell:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
Aqui:
n_1 = n_{ar},\quad \theta_1=\theta_i,\quad n_2=n_{d},\quad \theta_2=\theta_r.
Isso significa que o produto do índice pelo seno do ângulo é o mesmo nos dois lados da superfície. Vou usar essa equação para encontrar \theta_r.

Passo 3

Isolando \theta_r na Lei de Snell:
n_{ar}\sin\theta_i = n_{d}\sin\theta_r
\Rightarrow \sin\theta_r = \frac{n_{ar}}{n_{d}}\sin\theta_i.
Explicando cada termo:
  • \sin\theta_i é o seno do ângulo de incidência (medido em graus).
  • \dfrac{n_{ar}}{n_{d}} é a razão dos índices; como n_{ar}<n_{d} esperamos \sin\theta_r < \sin\theta_i e, portanto, \theta_r < \theta_i.

Passo 4

Calculemos numericamente passo a passo (mostrando cada conta):
  1. Calcular \sin\theta_i:
\sin(37,0^\circ)\approx 0,601815.
  1. Calcular a razão dos índices:
\frac{n_{ar}}{n_{d}}=\frac{1,00}{2,42}\approx 0,413223.
  1. Multiplicar para obter \sin\theta_r:
\sin\theta_r \approx 0,413223\times 0,601815 \approx 0,248675.
  1. Finalmente, obter \theta_r aplicando arco-seno (em graus):
\theta_r = \arcsin(0,248675)\approx 14,4^\circ.
Observação prática: ao entrar num meio de índice maior o raio se aproxima da normal, então \theta_r menor que 37,0^\circ, o que confere com o número obtido.

Passo 5

Resumo e interpretação final curta (para te motivar): a conta acima mostra que o raio refratado no diamante tem ângulo bem menor porque o diamante tem índice muito maior que o ar. Fica aí um truque fácil para a prova: sempre aplique Snell direto e calcule \sin\theta_r antes de usar arco-seno.

Resposta

\theta_r = 14,4^\circ

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