Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) da matriz A , o determinante fica multiplicado por esse número:
\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{ka}_{2} & \mathrm{~kb}_{2} & \mathrm{kc}_{2} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|=\mathrm{k} \times\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} & \mathrm{c}_{1} \\\ \mathrm{a}_{2} & \mathrm{~b}_{2} & \mathrm{c}_{2} \\\ \mathrm{a}_{3} & \mathrm{~b}_{3} & \mathrm{c}_{3} \end{array}\right|

Exemplo

Seja:
\operatorname{det} A_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 4 & 12 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|
Este determinante foi calculado, como Exemplo, na propriedade VII, e o valor encontrado foi det \mathrm{A}_{1}=8.
Este determinante foi calculado, como Exemplo, na propriedade VII, e o valor encontrado foi \operatorname{det} \mathrm{A}_{1}=8.
Suponha o leitor que se deseja multiplicar a 2^{\mathrm{a}} linha por 1 / 4 (o que é o mesmo que dividir os elementos da linha por 4):
\operatorname{det} A_{2}=\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|
\begin{aligned} & \operatorname{det} A_{2}=+0 \times\left|\begin{array}{cc} 3 & 5 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right|-0 \times\left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\\\ 0 & 3 \end{array}\right|+2 \times\left|\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right| \\\ & \operatorname{det} A_{2}=0 \times(3 \times 3-5 \times 1)-0 \times(1 \times 3-5 \times 0)+2(1 \times 1-3 \times 0) \\\ & \operatorname{det} A_{2}=0 \times(9-5)-0 \times(3-0)+2 \times(1-0) \\\ & \operatorname{det} A_{2}=0 \times 4-0 \times 3+2 \times 1 \\\ & \operatorname{det} A_{2}=0-0+2 \\\ & \operatorname{det} A_{2}=2 \end{aligned}
Como se vê, o \operatorname{det} \mathrm{A}_{1} ficou multiplicado por \frac{1}{4} ao se multiplicar os elementos da 2a linha por \frac{1}{4}, uma vez que:
\operatorname{det} A_{2}=2=8 \times \frac{1}{4}
isto é, o valor de \operatorname{det} A_{1} ficou alterado. Para que se mantenha o valor do det A_{1}, no caso de haver necessidade de multiplicar a 2^{\mathrm{a}} linha por \frac{1}{4}, se procederá do seguinte modo:
Como se vê, o \operatorname{det} A_{1} ficou multiplicado por \frac{1}{4} ao se multiplicar os elementos da 2 a linha por \frac{1}{4}, uma vez que:
\operatorname{det} A_{2}=2=8 \times \frac{1}{4}
isto é, o valor de \operatorname{det} \mathrm{A}_{1} ficou alterado. Para que se mantenha o valor do det \mathrm{A}_{1}, no caso de haver necessidade de multiplicar a 2^{\mathrm{a}} linha por \frac{1}{4}, se procederá do seguinte modo:
\operatorname{det} A_{1}=\left|\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 4 & 12 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=4 \times\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|
Quando se desejar multiplicar a 2 a linha de uma matriz A por \frac{1}{4} para facilitar o cálculo de seu determinante, se escreverá assim:
\begin{aligned} & \operatorname{det} A_{1}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 4 & 12 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right| \rightarrow L_{2}\left(\frac{1}{4}\right) \\\ & \operatorname{det} A_{1}=4 \times\left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right| \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece a propriedade (multiplicar todos os elementos de uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar) e dois determinantes de matrizes 3×3 relacionados. Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A matriz inicial
\det A_{1}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 4 & 12 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|.
  • A matriz obtida ao multiplicar a segunda linha por 1/4:
\det A_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|.
As perguntas implícitas que vamos responder passo a passo:
  1. Calcular \det A_{1}.
  2. Calcular \det A_{2}.
  3. Mostrar a relação entre \det A_{1} e \det A_{2} quando a segunda linha foi multiplicada por 1/4.
  4. Explicar como proceder para manter o valor do determinante quando se faz essa operação (isto é, justificar a forma escrita \det A_{1}=4\times\det A_{2}).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula de expansão do determinante por elementos da primeira linha (ferramenta básica que usaremos para entender o efeito de multiplicar uma linha por um escalar). Para uma matriz genérica
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|
a expansão pela primeira linha é
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right| = a_{1}\left|\begin{array}{cc} b_{2} & c_{2} \\\ b_{3} & c_{3} \end{array}\right| - b_{1}\left|\begin{array}{cc} a_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & c_{3} \end{array}\right| + c_{1}\left|\begin{array}{cc} a_{2} & b_{2} \\\ a_{3} & b_{3} \end{array}\right|.
Aqui explique o que cada símbolo significa:
  • a_{1},b_{1},c_{1} são os elementos da primeira linha;
  • a_{2},b_{2},c_{2} são os elementos da segunda linha;
  • a_{3},b_{3},c_{3} são os elementos da terceira linha;
  • cada subdeterminante 2\times2 é o determinante da matriz que sobra ao riscar a linha e a coluna do elemento usado na expansão.
Essa fórmula mostra que o determinante é uma soma linear de expressões que envolvem os elementos de cada linha.

Passo 3

Prova direta, no caso 3\times3, de que multiplicar todos os elementos da segunda linha por um número k multiplica o determinante por k.
Considere a matriz do Passo 2, mas com a segunda linha multiplicada por k:
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ ka_{2} & kb_{2} & kc_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|.
Expandindo pela primeira linha, usando a mesma fórmula do Passo 2, obtemos
\begin{aligned} & a_{1}\left|\begin{array}{cc} kb_{2} & kc_{2} \\\ b_{3} & c_{3} \end{array}\right| - b_{1}\left|\begin{array}{cc} ka_{2} & kc_{2} \\\ a_{3} & c_{3} \end{array}\right| + c_{1}\left|\begin{array}{cc} ka_{2} & kb_{2} \\\ a_{3} & b_{3} \end{array}\right|. \end{aligned}
Em cada um dos 2\times2 determinantes aparece um fator comum k na primeira linha do minor; esse fator pode ser colocado em evidência em cada um dos três termos:
\begin{aligned} & a_{1}\,k\left|\begin{array}{cc} b_{2} & c_{2} \\\ b_{3} & c_{3} \end{array}\right| - b_{1}\,k\left|\begin{array}{cc} a_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & c_{3} \end{array}\right| + c_{1}\,k\left|\begin{array}{cc} a_{2} & b_{2} \\\ a_{3} & b_{3} \end{array}\right|. \end{aligned}
Agora fatorando k de toda a soma, obtemos
k\left( a_{1}\left|\begin{array}{cc} b_{2} & c_{2} \\\ b_{3} & c_{3} \end{array}\right| - b_{1}\left|\begin{array}{cc} a_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & c_{3} \end{array}\right| + c_{1}\left|\begin{array}{cc} a_{2} & b_{2} \\\ a_{3} & b_{3} \end{array}\right| \right).
O parêntese é exatamente o determinante da matriz original sem o fator k. Concluímos então, de forma direta e elementar para 3\times3, que multiplicar todos os elementos de uma linha por k multiplica o determinante por k:
\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ ka_{2} & kb_{2} & kc_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right| = k\left|\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right|.

Passo 4

Agora vamos aplicar esses conceitos ao exemplo concreto. Primeiro observação prática muito útil para a prova: uma matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal. Explicação curta e intuitiva:
  • Se a matriz é triangular superior, a primeira coluna tem zeros abaixo do primeiro elemento, então ao expandir pela primeira coluna só resta o primeiro elemento multiplicando o determinante do menor 2\times2, que por sua vez é triangular e segue recursivamente. Isso leva ao produto dos elementos diagonais.
    Isso é muito prático para calcular determinantes rapidamente sem desenvolver todos os cofatores.

Passo 5

Calcular \det A_{1}. A matriz A_{1} é triangular superior com diagonal 1,4,2. Pelo que dissemos no Passo 4,
\det A_{1}=1\times 4\times 2.
Portanto
\det A_{1}=8.

Passo 6

Calcular \det A_{2}. A matriz A_{2} foi obtida multiplicando a segunda linha de A_{1} por 1/4. Escrevendo a diagonal de A_{2} temos 1,1,2. Usando a propriedade da matriz triangular,
\det A_{2}=1\times 1\times 2.
Assim
\det A_{2}=2.

Passo 7

Comparar os resultados e verificar a propriedade de escala no exemplo:
  • Observamos que
\det A_{2}=2=\frac{1}{4}\times 8=\frac{1}{4}\det A_{1},
ou seja,
\det A_{2}=\frac{1}{4}\det A_{1}.
  • Reescrevendo para manter o valor original de \det A_{1} ao usar a versão simplificada A_{2} nos cálculos, fazemos
\det A_{1}=4\times\det A_{2}.
Isto é exatamente o que o texto do enunciado mostrou na prática: ao dividir a segunda linha por 4 para facilitar o cálculo, é preciso multiplicar o determinante final por 4 para recuperar o determinante da matriz original.

Passo 8

Dicas de prova (curtas e práticas, para não esquecer no momento do exame):
  • Se for conveniente simplificar uma linha dividindo-a por um número k, registre imediatamente que o determinante da matriz original vale k vezes o determinante da matriz simplificada.
  • Para matrizes triangulares (ou que podem ser colocadas em forma triangular usando operações que não mudam o determinante), calcule o produto da diagonal — é o caminho mais rápido.
  • Sempre cuide: trocar linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por escalar escala o determinante; somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.

Resposta

\det A_{1}=8
\det A_{2}=2
\det A_{2}=\dfrac{1}{4}\det A_{1}
\det A_{1}=4\times\det A_{2}

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