Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) da matriz A , o determinante fica multiplicado por esse número:
Como se vê, o \operatorname{det} \mathrm{A}_{1} ficou multiplicado por \frac{1}{4} ao se multiplicar os elementos da 2a linha por \frac{1}{4}, uma vez que:
\operatorname{det} A_{2}=2=8 \times \frac{1}{4}
isto é, o valor de \operatorname{det} A_{1} ficou alterado. Para que se mantenha o valor do det A_{1}, no caso de haver necessidade de multiplicar a 2^{\mathrm{a}} linha por \frac{1}{4}, se procederá do seguinte modo:
Como se vê, o \operatorname{det} A_{1} ficou multiplicado por \frac{1}{4} ao se multiplicar os elementos da 2 a linha por \frac{1}{4}, uma vez que:
\operatorname{det} A_{2}=2=8 \times \frac{1}{4}
isto é, o valor de \operatorname{det} \mathrm{A}_{1} ficou alterado. Para que se mantenha o valor do det \mathrm{A}_{1}, no caso de haver necessidade de multiplicar a 2^{\mathrm{a}} linha por \frac{1}{4}, se procederá do seguinte modo:
O enunciado fornece a propriedade (multiplicar todos os elementos de uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar) e dois determinantes de matrizes 3×3 relacionados. Dados importantes extraídos do enunciado:
As perguntas implícitas que vamos responder passo a passo:
Calcular \det A_{1}.
Calcular \det A_{2}.
Mostrar a relação entre \det A_{1} e \det A_{2} quando a segunda linha foi multiplicada por 1/4.
Explicar como proceder para manter o valor do determinante quando se faz essa operação (isto é, justificar a forma escrita \det A_{1}=4\times\det A_{2}).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula de expansão do determinante por elementos da primeira linha (ferramenta básica que usaremos para entender o efeito de multiplicar uma linha por um escalar). Para uma matriz genérica
Em cada um dos 2\times2 determinantes aparece um fator comum k na primeira linha do minor; esse fator pode ser colocado em evidência em cada um dos três termos:
O parêntese é exatamente o determinante da matriz original sem o fator k. Concluímos então, de forma direta e elementar para 3\times3, que multiplicar todos os elementos de uma linha por k multiplica o determinante por k:
Agora vamos aplicar esses conceitos ao exemplo concreto. Primeiro observação prática muito útil para a prova: uma matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal. Explicação curta e intuitiva:
Se a matriz é triangular superior, a primeira coluna tem zeros abaixo do primeiro elemento, então ao expandir pela primeira coluna só resta o primeiro elemento multiplicando o determinante do menor 2\times2, que por sua vez é triangular e segue recursivamente. Isso leva ao produto dos elementos diagonais.
Isso é muito prático para calcular determinantes rapidamente sem desenvolver todos os cofatores.
Passo 5
Calcular \det A_{1}. A matriz A_{1} é triangular superior com diagonal 1,4,2. Pelo que dissemos no Passo 4,
\det A_{1}=1\times 4\times 2.
Portanto
\det A_{1}=8.
Passo 6
Calcular \det A_{2}. A matriz A_{2} foi obtida multiplicando a segunda linha de A_{1} por 1/4. Escrevendo a diagonal de A_{2} temos 1,1,2. Usando a propriedade da matriz triangular,
\det A_{2}=1\times 1\times 2.
Assim
\det A_{2}=2.
Passo 7
Comparar os resultados e verificar a propriedade de escala no exemplo:
Reescrevendo para manter o valor original de \det A_{1} ao usar a versão simplificada A_{2} nos cálculos, fazemos
\det A_{1}=4\times\det A_{2}.
Isto é exatamente o que o texto do enunciado mostrou na prática: ao dividir a segunda linha por 4 para facilitar o cálculo, é preciso multiplicar o determinante final por 4 para recuperar o determinante da matriz original.
Passo 8
Dicas de prova (curtas e práticas, para não esquecer no momento do exame):
Se for conveniente simplificar uma linha dividindo-a por um número k, registre imediatamente que o determinante da matriz original vale k vezes o determinante da matriz simplificada.
Para matrizes triangulares (ou que podem ser colocadas em forma triangular usando operações que não mudam o determinante), calcule o produto da diagonal — é o caminho mais rápido.
Sempre cuide: trocar linhas muda o sinal do determinante; multiplicar uma linha por escalar escala o determinante; somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.