Passe para coordenadas polares e calcule:
integral0^a integral0^raiza^2-y^2 raiza^2-x^2-y^2 d x d y, a>0

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^aintegral0^raiza^2-y^2raiza^2-x^2-y^2,dx,dy, a>0,
que é a integral dupla de raiza^2-x^2-y^2 sobre o primeiro quadrante do disco de raio a. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, uso do jacobiano r e escolha dos limites adequados.

Passo 2

Descrevemos a região em coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0,0<=theta<=pi2,
e o disco x^2+y^2<= a^2 vira 0<= r<= a, 0<=theta<=pi/2.

Passo 3

Em polares, o integrando fica
raiza^2-x^2-y^2 = raiza^2-r^2,
e o elemento de área é dx,dy = r,dr,dtheta. Portanto
integral0^a!!integral0^raiza^2-y^2raiza^2-x^2-y^2,dx,dy =integraltheta=0^pi/2integralr=0^ar,raiza^2-r^2,dr,dtheta

Passo 4

Separamos a integral em theta e em r:
integral0^pi/2dtheta;times;integral0^arraiza^2-r^2,dr =pi2,integral0^arraiza^2-r^2,dr

Passo 5

Para calcular integral0^arraiza^2-r^2,dr, usamos a substituição
u = a^2-r^2, du = -2r,drLongrightarrow r,dr = -du2
Quando r=0, u=a^2; quando r=a, u=0. Logo
integral0^arraiza^2-r^2,dr =-12integralu=a^2^0raizu,du =12integral0^a^2u^1/2,du =12cdot23u^3/2|0^a^2 =13(a^2)^3/2 =a^33

Passo 6

Substituindo de volta, a integral total vale
pi2timesa^33 =pi,a^36

Resposta

integral0^aintegral0^raiza^2-y^2raiza^2-x^2-y^2,dx,dy =pi,a^36

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