Multiplique cada equação abaixo por um fator integrante adequado, transformando-a em uma equação diferencial exata e resolvendo-a na sequência:
(x y^2+y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(xy^2+yr),dx ;-; x,dy ;=;0
e pede para encontrar um fator integrante que a torne exata e, em seguida, resolver. O conteúdo aqui é o de encontrar fatores integrantes que dependem só de x ou só de y, verificar exatidão e depois integrar para achar a primitiva.

Passo 2

Vamos escrever
M(x,y)=xy^2+y e N(x,y)=-x
e checar exatidão:
partial Mpartial y=2xy+1, partial Npartial x=-1
Como 2xy+1neq -1, não é exata. Testamos um fator integrante mu(y) usando a fórmula
partial N/partial x-partial M/partial yM =-1-(2xy+1)xy^2+y =-2(xy+1)y(xy+1) =-2y,
que depende só de y. Portanto existe mu=mu(y).

Passo 3

Calculamos
mu(y)=exp!l(integral -tfrac2y,dyr) =exp(-2ln|y|) =|y|^-2
Como basta trabalhar em um ramo onde yneq0, tomamos mu(y)=y^-2.

Passo 4

Multiplicando a equação original por y^-2 obtemos
l(x+tfrac1yr),dx;+;l(-tfracxy^2r),dy =0
Agora
M1(x,y)=x+tfrac1y, N1(x,y)=-tfracxy^2,
e de fato
partial M1partial y=-1y^2, partial N1partial x=-1y^2,
logo é exata.

Passo 5

Buscamos phi(x,y) tal que
partialphi/partial x=M1. Integramos em x:
phi(x,y)=integrall(x+tfrac1yr),dx =x^22+xy+h(y)
Depois impomos partialphi/partial y=N1:
partialphipartial y =-xy^2+h'(y) stackrel!=-xy^2 Longrightarrow h'(y)=0 ;Rightarrow;h(y)=C
Assim a solução geral é
phi(x,y)=x^22+xy=C

Resposta

x^22+xy=C

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