Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
. O conteúdo aqui é reconhecer que a equação não é exata e buscar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 2
Escrevemos
Calculamos
Como
, não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Usamos a condição
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
ou seja
com
e ,
que agora é exata.
e
que agora é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em
:
Passo 6
Agora diferenciamos esse
em
e igualamos a
:
Então
Passo 7
A solução implícita geral é
Usando
temos
, logo
. Assim
Passo 8
Tomando logaritmo e isolando
,