Resolva os problemas de valor inicial:
(x+y e^yx) d x-x e^yx d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(x + y,e^yxr),dx ;-; x,e^yx,dy ;=;0,
com condição inicial y(1)=0. O conteúdo aqui é reconhecer que a equação não é exata e buscar um fator integrante que dependa apenas de x.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y)=x + y,e^yx, N(x,y)=-,x,e^yx
Calculamos
partial Mpartial y =e^yx + y,e^yx1x =e^yxl(1+yxr),
partial Npartial x =-e^yx + l(-x,e^yxr)partialpartial xl(yxr) =-e^yx + x,e^yxyx^2 =e^yxl(yx-1r)
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x). Usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN =e^yxl(1+yxr) -e^yxl(yx-1r) -,x,e^yx =-2x,
que depende apenas de x. Logo
mu(x)=expl(integral -2x,dxr) =exp(-2ln|x|) =x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^-2, obtendo
l(x + y,e^yxx^2r),dx ;+; l(-x,e^yxx^2r),dy =0,
ou seja
widetilde M(x,y),dx + widetilde N(x,y),dy=0,
com
widetilde M=1/x + tfracyx^2e^yx
e widetilde N=-,tfrac1x e^yx,
que agora é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=widetilde M e psiy=widetilde N. Integramos psiy em y:
psi(x,y) =integral -1xe^yx,dy =-1xcdot x,e^yx =-,e^yx + C(x)

Passo 6

Agora diferenciamos esse psi em x e igualamos a widetilde M:
psix =yx^2e^yx + C'(x) stackrel!= 1x + yx^2e^yx Longrightarrow C'(x)=1x ;Rightarrow; C(x)=ln|x|
Então
psi(x,y)=-,e^yx+ln|x|

Passo 7

A solução implícita geral é
psi(x,y)=C ;Longrightarrow; -,e^yx+ln|x|=C
Usando y(1)=0 temos
-e^0+ln1=-1+0=-1, logo C=-1. Assim
ln x - e^yx=-1 ;Longrightarrow; e^yx=1+ln x

Passo 8

Tomando logaritmo e isolando y,
yx=lnl(1+ln xr) Longrightarrow y(x)=x;lnl(1+ln xr)

Resposta

y(x)=x,lnl(1+ln xr)

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