Multiplique cada equação abaixo por um fator integrante adequado, transformando-a em uma equação diferencial exata e resolvendo-a na sequência:
yx d x+(y^3-ln (x)) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
yx,dx + l(y^3 - ln(x)r),dy = 0
tornando-a exata por meio de um fator integrante. Aqui o conteúdo é equações diferenciais de 1ª ordem na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, exatidão e fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=yx, N(x,y)=y^3-ln(x)
Calculamos
partial Mpartial y=1x, partial Npartial x=-1x,
logo não é exata pois partial M/partial yneqpartial N/partial x.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(y) (função só de y). Verificamos
partial Npartial x-partial Mpartial yM =-tfrac1x-tfrac1xtfracyx =-2/xy/x=-2y,
que depende só de y. Então
mu(y)=exp!l(integral -2y,dyr) =exp(-2ln y)=y^-2

Passo 4

Multiplicando a equação original por y^-2 obtemos
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0,
com
M^*=yx,y^-2=1x,y, N^*=y^-2l(y^3-ln xr)=y-ln xy^2
Agora
partial M^*partial y =-1x,y^2, partial N^*partial x =-1x,y^2,
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos psi(x,y) tal que
partialpsipartial x=M^*=1x,y
Integrando em x:
psi(x,y)=integral1x,y,dx =1yln x + h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
partialpsipartial y =-1y^2ln x + h'(y) overset!=y-ln xy^2 ;Longrightarrow; h'(y)=y ;Longrightarrow; h(y)=y^22
Portanto
psi(x,y)=ln xy+y^22

Passo 6

A solução implícita geral é
psi(x,y)=C ;Longrightarrow; ln xy+y^22=C

Resposta

ln xy+y^22=C

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