Resolva os problemas de valor inicial:
2 y^prime=yx-xy^2, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de valor inicial
2,y'=yx-xy^2, y(1)=1
O conteúdo aqui é resolução de uma EDO não linear de primeira ordem por meio de substituição que torne a equação linear.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma padrão para y':
y' = 12l(yx-xy^2r)
Observamos que a dependência em y^-2 é incompatível com uma equação linear em y, mas sugere a substituição z=y^3.

Passo 3

Definimos ,z=y^3. Então
dzdx =3y^2,dydx Longrightarrow y'=13y^2,dzdx
Substituindo em y' = tfrac12l(tfrac yx - tfrac xy^2r)
13y^2dzdx =12l(yx-xy^2r)
Como y^2=z^2/3 e y=z^1/3, isso simplifica para
13,z^2/3dzdx =12l(z^1/3x-xz^2/3r)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 3,z^2/3 obtemos
dzdx =32l(zx-xr) =32,zx-32,x
Esta é uma EDO linear em z:
dzdx-32x,z= -32,x

Passo 5

Calculamos o fator integrante:
mu(x)=exp!l(-integral32xdxr) =exp!l(-tfrac32ln xr) =x^-tfrac32
Multiplicando a equação por mu(x) resulta
ddxl(x^-tfrac32zr) =-32,x,x^-tfrac32 =-32,x^-tfrac12
Integramos em x:
x^-tfrac32z =integral -tfrac32x^-tfrac12dx =-tfrac32cdotx^tfrac12tfrac12+C =-3,x^tfrac12+C
Multiplicando por x^3/2 obtemos
z = C,x^tfrac32-3,x^2

Passo 6

Voltando z=y^3 e aplicando a condição inicial y(1)=1:
1^3 = y(1)^3 = Ccdot1^3/2-3cdot1^2 Longrightarrow 1=C-3 Longrightarrow C=4
Logo
y^3=4,x^tfrac32-3,x^2 Longrightarrow y(x)=l(4,x^tfrac32-3,x^2r)^!tfrac13

Resposta

y(x)=l(4,x^tfrac32-3,x^2r)^tfrac13

Exercícios relacionados