Para a(n)=n^{2}-2 e b(n)=n^{2}+2, determine:
i(n)=a(2 n+1)

Passo 1

O enunciado dá as funções
a(n)=n^{2}-2
e
b(n)=n^{2}+2
e pede que se determine i(n)=a(2n+1). Ou seja, a tarefa é avaliar a função a no argumento 2n+1: substituir a variável por 2n+1.

Passo 2

Explicando a ideia de substituição (avaliação): quando temos uma função a(x) e escrevemos a(s), isso significa "pegar a expressão que define a e substituir cada ocorrência de x por s". Aqui a variável em a é n, então a(2n+1) significa substituir n por 2n+1 na expressão n^{2}-2.

Passo 3

Faço a substituição diretamente:
a(2n+1)=(2n+1)^{2}-2.
Esse é o passo de transpor o argumento para dentro da expressão da função.

Passo 4

Agora vou expandir o quadrado (2n+1)^{2}. Lembre a fórmula do quadrado da soma:
(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}.
Aqui u=2n e v=1. Aplicando a fórmula,
Calculo termo a termo:
(2n)^{2}=4n^{2},
2\cdot(2n)\cdot 1=4n,
1^{2}=1.
Somando esses termos dá
(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1.
Voltando à expressão inicial e subtraindo 2:
(2n+1)^{2}-2=(4n^{2}+4n+1)-2=4n^{2}+4n-1.

Passo 5

Faço uma verificação numérica rápida para ter confiança: tome n=1. Então a(2\cdot1+1)=a(3)=3^{2}-2=9-2=7. Pela fórmula que encontrei, 4\cdot1^{2}+4\cdot1-1=4+4-1=7. Confere.

Resposta

i(n)=4n^{2}+4n-1

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